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2009年8月24日 (月)

規則性の問題 図形 第2問 (桜蔭中学 2007年 入試算数問題)

問題 (桜蔭中学 2007年 入試算数問題) 難易度★★★★

 A,B2種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。

Pic_0331

(1)5周まで並べたとき、タイルA,タイルBはそれぞれ何枚

あるか求めなさい。

   

(2)A,Bがそれぞれ90枚ずつあります。できるだけ多くのタイルを

使って図のように並べると、何周まで並べることができますか。

また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。

   

(3)Pic_0332 25周までタイルA,Bを並べました。

このとき、右図のように4枚のタイルに

囲まれている部分にタイルCを入れて

いきいます。必要なタイルCは何枚ですか。

   

(4)タイルAとタイルBが同じ枚数あります。

できるだけ多くのタイルを使って並べて

いったところ、タイルAの余りが45枚、

タイルBの余りが14枚でした。

最初にあったタイルAは何枚ですか。

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解答

 (1)タイルAの数は、奇数周目には、周数×周数の数に

等しくなります。偶数周目は、その前の周のときと同じです。

タイルBの数は、奇数周目には、その前の周のときと同じで、

偶数周目には、周数×周数の数に等しくなります。

5周目には、タイルAの数=5×5=25枚、

タイルBの数=4×4=16枚 それぞれあります。

   

 (2)90枚あるとき、タイルAが最も多いのが9×9=81枚、

タイルBは8×8=64枚が最も多く使ったときです。

すなわち、9周目まで並べたときで、余ったタイルは、

タイルAが90-81=9枚、タイルBは90-64=26枚です。

   

 (3)タイルCを入れるスペースの規則性について調べると、

Kisoku014

3周目に4枚、4周目に4+8枚、5周目に4+8+12枚・・・と

4枚ずつ規則的に増えていくことがわかります。

25周目には、一番外側に4×(25-2)=92枚 入れるので、

4+8+12+16+・・・+92=(4+92)×23÷2=1104枚

タイルCが必要です。

     

 (4)使われた枚数を、図で示すと、

Pic_0333

タイルBはタイルAより31枚多く使っていることがわかります。

よって、同じ数をかけたものの差が31になる数を求めると、

16×16-15×15=256-225=31なので、

16周目まで並べたことがわかり、

タイルは最初に225+45=270枚あったことになります。

      

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