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2009年8月 7日 (金)

規則性の問題 操作 第3問 (筑波大学附属駒場中学 2004年 受験問題 算数)

問題 (筑波大学附属駒場中学 2004年 受験問題 算数)

     難易度★★★

 

 はじめに、1からある整数までの数を小さい順に並べます。

これを次のような操作を何回か行って、数を大きい順に並べ

かえることを考えます。

 

■■■ 操作 ■■■

  となりあって並んでいる3つの数を選び、その左端の数と

  右端の数を入れかえる

 

たとえば、はじめに、1から5までの数を並べた場合、下の図1

のように4回の操作で大きい順に並べかえることができます。

      Pic_2416q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)はじめに1から7までの数を並べた場合、大きい順に並べ

   かえていく途中で、下の図2のように【 7 6 1 2 3 4 5 】の

   順に並びました。ここまでに何回の操作をしましたか。

   考えられる回数のうち、もっとも少ないものを答えなさい。

     Pic_2417q

(2)はじめに次のように数を小さい順に並べた場合、何回の

   操作で大きい順に並べかえることができるますか。

   考えられる回数のうち、もっとも少ないものを答えなさい。

   (ア)1から9までの数を並べた場合

   (イ)1から99までの数を並べた場合

---------------------------------------------

解答

 (1)【 7 6 1 2 3 4 5 】という数字の並びを見て、図1の

3回目の操作が終わった【 5 4 1 2 3 】と同じ形だと

気づくことができれば、図1と同様な形で、下の図3のように

操作をくり返し、

     Pic_2418a_2

5回の操作で 【 7 6 1 2 3 4 5 】の並びになることがわかります。

 

 

<別解>

  図1の動きに気づけなかった場合は、下の図4のような

形を作れれば答えにたどりつくことができ、

     Pic_2419a

この場合も同様に、5回の操作で 【 7 6 1 2 3 4 5 】の

並びになることがわかります。

  

 

 (2)(1)の図3、図4で、赤く囲った【 1 2 3 4 5 】の部分は、

図1より、4回の操作で【 5 4 3 2 1 】になるので、

【 7 6 5 4 3 2 1 】になるのは、5+4=9回の操作後と

わかります。

ここまでを整理すると、

  【 1 2 3 】 → 1回 → 【 3 2 1 】

  【 1 2 3 4 5 】 → 3回 → 【 5 4 1 2 3

  【 1 2 3 4 5 6 7 】 → 5回 → 【 7 6 1 2 3 4 5

ということがわかります。

 

 (2)(ア)このことから、【 1 2 3 4 5 6 7 8 9 】は、

【 1 2 3 4 5 6 7 8 9 】 → 7回 → 【 9 8 1 2 3 4 5 6 7

になることがわかります(確認してみてください)

 

よって、1から9までの数を並べた場合、

 7+5+3+1=16回 の操作で

大きい順に並べかえることができます。

 

 (2)(イ)ここまでの規則性から、1から99までの数を並べた場合

1+3+5+・・・+97=(1+97)×49÷2=2401回 の操作で

大きい順に並べかえることができると考えられます。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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