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2009年8月27日 (木)

数の性質 第17問 (広島学院中学 2004年(平成16年度) 算数入試問題)

問題 (広島学院中学 2004年 算数入試問題) 難易度★★★★

 

9枚の駒がある。表は白、裏は黄色で、表とうらに2から10までの

整数がひとつずつ書かれている。また、箱の中に1から10までの

整数がひとつずつ書かれた紙が入っており、その箱の中から紙を

引き、引いた数の倍数の数の駒を全て裏にすることにする。

一度引いた紙は箱の中には戻さない。最初、駒は全て表を上に

並んでいるとき、次の問に答えなさい。 

 (1)2回紙を引いたところ、図1のようになった。このとき引いた

紙に書かれていた数字を答えなさい。

 (2)3回紙を引いたところ、図2のようになった。このとき引いた

紙に書かれていた数字を答えなさい。

 (3)4回紙を引いたところ、図3のようになった。このとき引いた

紙に書かれていた数字を答えなさい。

    Pic_0346

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解答

 (1)2が裏になっているので、1、または2を引かなければ

2は裏にならない。1を引くと、全ての駒が裏になり、次の数字で

3,4,5,7,8,9を裏にすることはできない。よって2が引かれて

いる。2を引くと、2,4,6,8,10が裏になり、そこから4,8が

さらに裏になって表になればよいので、4の紙が引かれればよい。

よって、引かれた紙に書かれた数字は、2と4です。 

 

 (2)図2も2が裏になっているので、1か2の書かれた紙を

引かなければならない。1と2の両方を引くと、2の駒は表に

戻り、同じ紙は引けないので、さらに裏になることはない。

よって、1または2のどちらかが引かれたことになります。

 

1が引かれたとすると、残り2回で3,7,10を表に戻すことに

なりますが、7を戻すことで1回を必要とし、残り1回で3,10を

表に同時に戻すことはできないので、1は引かれていない。

よって、2の書かれた紙が引かれたことになる。

 

2の書かれた紙を引くと、2,4,6,8,10が裏になります。

     Pic_0347

残り2回で5,9,10が裏になればよいと考えると、

5の書かれた紙と、9の書かれた紙を引けば図2のようになり、

ゆえに、このとき引いた紙は、2,5,9の書かれた紙です。

 

(3)5が裏になっているので、1または5が引かれています。

7も裏になっているので、1または7が引かれたことになります。

1が引かれていないならば、5,7は必ず引かねばなりません。

すると、残り2回で6,8,10をひっくり返さなければなりませんが、

2回ではできません。

 

よって、1が引かれたと考えられます。すると全て裏になります。

2は表に戻さなければならないので、2も引くことがわかります。

     Pic_0348_2

すると、3も戻さなければならないので3の書かれた紙も

引かなければなりません。すると、残りは8を裏にすればよく、

図3のようになるには、1,2,3,8の書かれた紙を引けばよい

ことになります。

 

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