平面図形の面積 第２３問 （ヒポクラテスの定理の応用）

問題　難易度★★★★★　　　

１辺４ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあり、ＡＣを半径とした円、ＡＢを

半径とした円、ＡＤを半径とした円が図のように重なっているとき、

色のついた部分の面積をヒポクラテスの定理を用いて求めなさい。

　　　　　　

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解答

　扇形Ａ－ＣＰを９０度回転させると、下図のように変形できます。

　次に、ＣＢの延長とＥＡの延長の交点をＦとすると、

三角形ＣＥＦも直角二等辺三角形で、ＣＥ＝ＣＦ、

三角形ＥＡＤと三角形ＥＦＥは相似比１：２になります。

ＥＡ＝ＡＦとなり、三角形ＥＡＣと三角形ＦＡＣは

合同な直角二等辺三角形です。

次に、ＣＥ、ＣＦを直径とする半円を、下図のように描くと

ヒポクラテスの定理により、

図の①＋②の面積＝③＋④の面積　となります。

ＣＥ＝ＣＦ、三角形ＥＡＣと三角形ＦＡＣが合同なことから、

①の面積＝③の面積、②の面積＝④の面積となります。

　さらに、下図を見るとわかるように、点Ｄを中心とした円が

できて、円の中で①の面積＝③の面積ということがわかった

ので、直径ＣＥを境に上の半円と下の半円に分ければ、上円の

「Ｐ」の面積＝下円の「Ｑ＋Ｒ」の面積ということがわかります。

求める面積＝「Ｐ+Ｑ+Ｒ」＝「Ｑ＋Ｒ」の面積 × ２

＝「ＣＥを直径とする円の面積」

　　－「ＣＥを対角線とする正方形の面積」

＝４×４×３．１４－８×８÷２＝１８．２４ｃ㎡　となります。

＜別解＞　　（普通に解いた場合）

　正方形の

　対角線ｘ対角線÷２＝４×４　なので、対角線×対角線＝３２

よって、求める面積は、

（対角線×対角線×３．１４×９０/３６０－４×４）

　　　　　　　　　　　＋（４×４×３．１４×１８０/３６０－４×４）

　　　　　　　　　　＝（３２÷４＋１６÷２）×３．１４－３２

　　　　　　　　　　＝１６×３．１４－３２＝１６×１．１４

　　　　　　　　　　＝１８．２４ｃ㎡

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