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2009年7月14日 (火)

規則性の問題 数の並び 第3問 (神戸女学院中学 算数受験問題)

問題 (神戸女学院中学 算数受験問題) 難易度★★★★★

 次のように、分数がある決まりに従って並んでいます。

Pic_0149

(1)100番目の数を答えなさい。  

(2)A番目と(A+1)番目の数の差が

   Pic_0150

  でした。Aの値を答えなさい。

--------------------------------------------------

解答

 (1)偶数番目の分子は、その数の2倍であることに注目します。

   (4,8,12,16、・・・) 

よって、100番目の分子は100×2=200 、

分母は200-1=199。  よって、100番目は200/199です。

  

 (2)Aが偶数番目か奇数番目か判断します。

Aが偶数番目は(1)で述べたように、分子が2Aとなります。

Aが奇数番目では、分母が2Aとなります。

(2,6,10、・・・)

 

Aが偶数番目のとき、分数は

Pic_0151

のようになっています。

この2つの分数の差を表すと、次のようになります。

Pic_0152_2

となります。 

   

次に、Aが奇数番目だった場合の分数は、

Pic_0153

のようになっています。

偶数の場合と同様に、2つの分数の差を求めると、

Pic_0154

となります。

  

問題の1/402+1/403に当てはまるのは、

Aが奇数のときで、2A=402なので、

A=402÷2=201 ということになります。

  

<別解>

問題の2つの分数の和の式は、次のように変形していけます。

Pic_0155

よって、404÷2=202番目の分数と、

402÷2=201番目の分数の差である、ということがわかり、

A=201番目ということになります。 

    

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