« 平面図形の面積 第24問 (灘中学、慶應義塾中等部 2008年 類題、穎明館中学 2009年 類題 受験算数問題) | トップページ | 有名な四面体 第1問 »

2009年7月 8日 (水)

図形の回転 第4問 (巣鴨中学 2009年、灘中学 2010年 類題 受験算数問題)

問題 (巣鴨中学 2009年、灘中学 2010年 類題

     受験算数問題) 難易度★★★★

 

 正八面体ABCDEFがあって、BD=6cmです。

(1)正八面体ABCDEFの体積を求めなさい。 

(2)AFを軸として、四角形ABFDを回転させたとき、

  できる立体の体積を求めなさい。  

(3)AFを軸として、三角形ABCを回転させたとき、

  できる立体の体積を求めなさい。

Pic_0115

--------------------------------------------------

解答

 (1)正八面体は3つの正方形:ACFE,ABFD,BCDEから

なっているので、BD,CE,AFの交点をOとすると、

AO=BO=CO=DO=EO=FO=6÷2=3cmです。

よって、正八面体ABCDEFの体積は、正四角すい2個分で、

6×6÷2×3÷3×2=36c㎥ となります。

 

(2)AFを軸として正方形ACFEを回転させると、

CO=EOを半径とする円を底面とした円すいが上下に

くっついた形になります。よって、その体積は、

3×3×3.14×3÷3×2=56.52c㎥ となります。

  

(3)OからBCへ垂線OMを下ろすと、AFを軸として

三角形ABCを回転させた立体は、ABを母線とする

円すいから、AMを母線とする円すいをくりぬいた形

になります。

     Pic_0116

       Pic_0115   

求める立体の体積は、

(BO×BO×3.14-OM×OM×3.14)×3÷3

ここで問題なのがOM×OMですが、

三角形OBCの面積について、以下の式が成り立ちます。

BC×OM=OB×OC (OB=OC)

BC=OM×2なので、2×OM×OM=OB×OB、

OM×OM=OB×OB÷2

よって、求める体積は

OB×OB÷2×3.14=9×3.14÷2=14.13c㎥

となります。

 

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験へ     ←参考になりましたら、応援お願いします
にほんブログ村    ランキング参加中です。

 

Tb_2←イメージでわかる中学受験算数

|

« 平面図形の面積 第24問 (灘中学、慶應義塾中等部 2008年 類題、穎明館中学 2009年 類題 受験算数問題) | トップページ | 有名な四面体 第1問 »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 図形の回転 第4問 (巣鴨中学 2009年、灘中学 2010年 類題 受験算数問題):

« 平面図形の面積 第24問 (灘中学、慶應義塾中等部 2008年 類題、穎明館中学 2009年 類題 受験算数問題) | トップページ | 有名な四面体 第1問 »