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2009年7月 8日 (水)

有名な四面体 第1問

問題 難易度★★★★★ (パターンを知っていれば★)

 1辺6cmの立方体ABCD-EFGHがあり、AB,BCの真ん中に

点P、Qをとって、P,Q,Fを通る平面で立方体を切断しました。

このとき、切り口の三角形PQFの面積を求めなさい。 

Pic_0118

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解答

 この問題は、よくあるパターンなので、初めての人は最初は

わからないでしょうが、一度やれば覚えると思います。

 

この問題のポイントは、三角すいF-BPQの展開図が

Pic_0119

このような正方形になることです。

なお、この展開図を組み立てると、R,SはBと重なります

 

よって、三角形PQFの面積は

正方形の面積-(三角形PRFの面積×2+三角形BPQの面積)

=6×6-(3×6÷2×2+3×3÷2)=13.5c㎡ となります。

  

この類題として、この三角すいを4つ合わせて四角すいとして

体積を求めさせるような問題もありますので、気をつけましょう。

  

四角すいの体積を求める問題 

  → 有名な四面体 第3問

  → 有名な四面体 第4問

 

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コメント

BSやBRが直線になる証明はどうするのでしょうか?

投稿: | 2009年7月 8日 (水) 21時15分

BSやBRが直線になる証明ですが、
2通り考えられます。

まず1つ目ですが、

立方体の正方形AEFBを利用します。

AEの真ん中に点Tを取りますと、
四角形BRFSと合同のものができあがります。
 
三角形TEFが三角形PRFに、
三角形TPFが三角形PQFに、
三角形PBFが三角形OSFに、
三角形ATPが三角形BPQに、それぞれ相当し、
すべて合同です。

ゆえに、四角形BRFSと四角形AEFBが合同で、
四角形AEFBが正方形なので、四角形BRFSも
正方形で、BR,BSは直線であると言えます。
 
 
 
2つ目の証明としては、角度を用いた証明です。
 
三角形PQFは、PF=QFなので二等辺三角形です。
また、三角形PRFと三角形QSFは合同です。
そして三角形BPQは直角二等辺三角形です。

ですので、質問されたBR,BSが直線になる理由に
ついては、角PQSが135度であることを示せば
よいですね。
 
では、角FPQ=角FQP=X、角PFR=角QFS=Y
としましょう。
すると、角FPQ+角FQP=2X
           =90度+2Y です。
(角RFSの外角が90度なので)

【なお、角RFSが90度の証明をまずしなければ
 この証明は不可能なので、しますが、これは
 ひとつ目の証明方法を用いて、角EFB=角RFS
 なので、90度、という証明になります。】
 

 
さて、話を戻しますと、
2X=90度+2Y でした。

よって、X=45度+Y となります。

次に、角FQS=180度-(90度+Y)
     =90度-Y となります。

では、角PQSは、というと
X+角FQS=(45+Y)+(90度-Y)
     =135度 です。
 
よって、角BQS=180度なので、
BSは直線です。
BRについても同様に証明されます。
 
 
これでよろしいでしょうか?

投稿: 桜組 | 2009年7月 9日 (木) 00時14分

ありがとうございます。
この問題は感覚的にはそうなると理解していましたが、どうして正方形に展開できるか正確に理解していませんでした。
4つの合同3角形を立方体の1面に貼り付けていけばいいわけですね。
これで息子に自信を持って説明できます。(その日が来るのかどうか分かりませんが...)

投稿: | 2009年7月 9日 (木) 10時42分

モヤモヤがすっきりされてよかったですね^^

お役に立ててなによりです。

投稿: 桜組 | 2009年7月 9日 (木) 11時14分

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