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2009年7月13日 (月)

立体図形の切り口 第5問 (灘中学 1995年 受験算数問題)

問題 (灘中学 1995年 受験算数問題) 難易度★★★★

 

図のような直方体の容器があります。AB=8cm、AE=10cm、

AD=4cmです。これに水をいっばい入れて、もれないように

ふたをします。 辺AE,AB,DH上にAP,AQ,DRの長さが

それぞれ2cm,3cm,1cm となるように3つの点P,Q,Rをとり、

P,Q,Rに小さな穴をあけました。この容器に残る水の量は

最も多くて何c㎥であるか答えなさい。 

      Pic_0088

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解答

 PQRの3点を通る平面を水平にしたとき、抜ける水の量は

最も少なくなるので、そのときに抜ける水の体積を求めます。

 

下の図のように、PQRを通る平面とCDの交点をS、PRとQSの

延長の交点をTとすると、三角形APQと三角形DRSは相似で、

その比は2:1です。よって、DS=1.5cmとわかります。

Pic_0089

三角形APQと三角形DRSの相似比が2:1なので、

三角すいT-APQ:三角すいT-DRSの体積比は

   2×2×2:1×1×1=8:1

です。 

 

三角すい台DRS-APQの体積は、三角すいT-DRSの7倍で、

三角すいT-DRSの高さ TD=DA=4cmなので、

三角すい台の体積は、

   1×1.5÷2×4÷3×7=7c㎥

です。

 

これを直方体の体積から除けば、残る水の体積となり、

   8×10×4-7=320-7=313c㎥

となります。

 

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