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2009年7月13日 (月)

平面図形の面積 第26問 面積比 (白百合学園中学 2004年、灘中学 2002年 受験算数問題)

問題 (白百合学園中学 2004年 改題、 灘中学 2002年)

    難易度★★★ 

 

 正六角形があり、各頂点を線で結び、さらに交点どうしを

線で結んで、下図のように色をつけました。

色の付いた部分と、元の正六角形の面積比を求めなさい。

    Pic_0137

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解答

 正六角形の1つの角度は120°です。下の図の3つの青い

三角形は合同なので、3つの青い三角形に囲まれた三角形は

正三角形です。

    Pic_0139

同様に、もう1つ正三角形を見つけられます。

青い三角形は、二等辺三角形で、正六角形のひとつの角度が

120°なことから、30°、30°、120°の二等辺三角形と

いうことがわかります。

    Pic_0140_2

すると、上図の6個の赤い三角形は、すべての角度が60°

なので正三角形で、6個の正三角形に囲まれた六角形は

正六角形ということがわかります。

    Pic_0141

上図で、緑の正三角形と、黄色い二等辺三角形は、

底辺の長さが等しいので、面積が同じといえます。

下図のように、内側の正六角形に線を引くと、

    Pic_0142

内側の正六角形内部に6つの正三角形ができ、

これも同じ面積なので、正六角形は18個の同じ面積の

三角形に分割され、黄色い部分はそのうちの6個分ですから、

元の正六角形の面積を1とすると、6/18=1/3の面積です。

 

内側の正六角形も6/18=1/3の面積です。

         Pic_0143

先ほどの図で、緑の部分と黄色の部分が入れ代わった

ものですが、黄色い部分の面積は、内側の正六角形の

6/18です。

 

よって、この部分の面積は、元の正六角形の面積の

   6/18 × 6/18=1/9 

の面積です。

 

ゆえに、合計すると、黄色い部分の面積は、

   1/3 + 1/9 = 4/9 

の面積で、黄色い部分の面積 : 正六角形の面積は、

   4/9 : 1=4:9  

となります。

 

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