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2009年7月29日 (水)

円すいの表面積の求め方~公式~

 

問題 難易度★★

 下図の円すいの表面積を求めなさい。

        Pic_0225

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解答

 まず、一般的な解き方をしてみます。

 ① 展開図を描きます

Pic_0226

② 底面の円周の長さが扇形の弧の長さと等しいので、

4×2×3.14=12×2×3.14×(中心角/360)

よって、中心角/360=1/3 なので、中心角=120度

   

③ 扇形の面積(円すいの側面積)を求めます。

12×12×3.14×(中心角/360)

   ②より、  =48 × 3.14

   

④ 底面積=4×4×3.14=16 × 3.14

    

⑤ ③+④=64×3.14 =200.96c㎡

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 次に、簡単な求め方を使ってみます。

 底面の円周 = 扇形の円弧  なので、

4×2×3.14=12×2×3.14×(中心角/360)

   

③ 扇形の面積は

12×12×3.14×(中心角/360) ですが、

        12×3.14×(中心角/360) の部分を、

      = 12×2×3.14×(中心角/360)÷2

      = 扇形の弧÷2 と変形することで、

扇形の弧÷2×扇形の半径 となります。

  ②より、 底面の円周 = 扇形の円弧  なので、

底面の円周÷2×扇形の半径

=底面の半径 × 2 × 3.14 ÷ 2 × 扇形の半径

底面の半径 × 扇形の半径 × 3.14

=4×12×3.14=48×3.14

 

なお、円すいの頂点と底面の円周を結ぶ線を母線といいます。

よって、円すいの扇形の面積=母線×半径×3.14と表せます。

 

これに、底面の面積を加えるので、

母線×半径×3.14 + 半径×半径×3.14

=(母線+半径)×半径×3.14 となります。

よって、この円すいの表面積は、この式から、

(12+4)× 4 × 3.14=64×3.14=200.96c㎡ です。

  

円すいの側面積母線×半径×3.14

円すいの表面積(母線半径)×半径×3.14

 

覚えましょう。  

 

 

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コメント

円すいの扇形の中心角ってぜったい120度なんですか?

投稿: | 2011年8月28日 (日) 20時57分

展開図の扇形の中心角を求めるには、
扇形の弧の長さと、底面の円の円周の長さが等しいことを
利用します。

この問題では、
12×2×3.14×(中心角/360)=4×2×3.14
を解くと、中心角=120度になっただけです。

長さの設定により、その都度計算結果は変わります。
ですので、絶対120度というわけではありません。

投稿: 桜組 | 2011年8月29日 (月) 16時41分

ありがとうございます!!

投稿: | 2011年12月 8日 (木) 21時17分

もっと簡単なの覚え方ないの

投稿: | 2012年8月 8日 (水) 21時49分

母線というのは扇形の半径ということでいいのでしょうか?

投稿: | 2012年8月27日 (月) 03時13分

中心角の求め方はどうするの?

投稿: | 2012年9月18日 (火) 17時05分

3.14の所をπにかえて
やったらどうなりますか?

投稿: 月夜 | 2013年1月18日 (金) 00時27分

いいいkjk、k

投稿: | 2013年12月 1日 (日) 13時24分

(◎´∀`)ノわかったーーーーー
有り難うございます!!(*゚▽゚)ノ

投稿: ゆず | 2014年2月28日 (金) 07時13分

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