平面図形の長さ 第１問 折り紙 （お茶の水女子大附属中学 2009年 受験算数問題）
問題 （お茶の水女子大附属中学 2009年 受験算数問題）
難易度★★★
１辺１０ｃｍの正方形ＡＢＣＤがあります。ＡＢ，ＡＤ上に
ＡＥ＝ＡＦとなる点Ｅ，Ｆをとって、ＣＥ，ＣＦを折り目として
正方形を折ったところ、頂点Ｂ，Ｄが点Ｇでちょうど重なり、
三角形ＡＥＦの面積は１７．４ｃ㎡でした。
このとき次の問いに答えなさい。
（１）三角形ＡＥＦの周囲の長さを求めなさい。
（２）三角形ＣＥＦの面積を求めなさい。
（３）ＥＦの長さを求めなさい。
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解答
（１）正方形を折り返しているので、ＢＥ＝ＥＧ，ＤＦ＝ＦＧです。
よって、三角形ＡＥＦの周の長さ＝ＡＥ＋ＥＧ＋ＡＦ＋ＦＧ
＝（ＡＥ＋ＥＢ）＋（ＡＦ＋ＦＤ）＝ＡＢ＋ＡＤ＝１０＋１0＝２０ｃｍ
となります。
（２）正方形を折り返しているので、三角形ＢＣＥと三角形ＣＥＧ
三角形ＤＣＦと三角形ＣＧＦの４つの三角形が合同です。
よって、三角形ＣＥＦの面積
＝（正方形の面積－三角形ＡＥＦの面積）÷４×２
＝（１００－１７．４）÷２＝４１．３ｃ㎡ です。
（３）合同な４つの三角形は底辺の長さも当然等しくなり、
その面積は、底辺ｘ高さ（１０ｃｍ）÷２です。
三角形の面積＝４１．３÷２
その底辺＝４１．３÷２×２÷１０＝４．１３
よって、ＥＦの長さ＝４．１３×２＝８．２６ｃｍ となります。
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コメント
この問題は数学的には不正確では無いでしょうか？
もし、△AEFの面積が17.4であれば、
EFxAG(AからＧへの垂線)x1/2=17.4
EF=2xAG (2個の直角三角形ですので)
従ってAGxAG=17.4でなければなりません。
17.4の平方根は4.1713...
となり、(３)の答えと矛盾します。
最初に△AEFの面積として17.4を与えることに問題があると思います。
小学生の算数だからと言ってこういう問題を出題する学校の姿勢に疑問を感じます。
投稿: | 2009年7月 3日 (金) 21時01分
確かに、わたしも計算したところ、三角形ＡＥＦの厳密な面積は１７．１６ｃ㎡になるようです。
この問題では小数第１位まで表示してあるようなので、１７．２ｃ㎡でしょうか。
では出題者が面積を１７．４ｃ㎡として出題した
この誤差０．２ｃ㎡の意図は何かと考えてみました。
三角形ＡＥＦの面積は予め与えてあります。
すると、面積の求め方から、
ＡＥｘＡＦ÷２＝１７．４、
ＡＥｘＡＦ＝３４．８です。
ＡＥ＝ＡＦですから、同じものを掛けて３４．８
となるＡＥを求めれば、答えが導けると考える
受験生もいるはずです。
(三角形ＡＥＦが１７．２の場合は３４．４です)
すると、５．９ｘ５．９＝３４．８１なのです。
ＡＥ＝ＡＦ＝５．９として、
ＥＦ＝(１０－５．９）ｘ２＝８．２ｃｍ
三角形ＣＥＦの面積
＝８．２ｘ１０÷２＝４１ｃ㎡
と答えを書く受験生がいたはずです。
推測ではありますが、これも答えとして正解と
されたのではないでしょうか。
では、三角形ＡＥＦの面積が１７．２のとき、
同じ数を掛けて３４．４になる数字がすぐに
求められるか、調べてみました。
すると、５．８ｘ５．８＝３３．６４
５．９ｘ５．９＝３４．８１
ですから、どちらも違います。
もっと細かく調べなくてはならないですね。
５．８５ｘ５．８５＝３４．２２２５
５．８７ｘ５．８７＝３４．４５６９
５．８６ｘ５．８６＝３４．３３９６
どれも微妙ですよね。わたしは計算機で
計算しましたが、紙と鉛筆で計算をしたら
膨大な時間をとられますね。
製作者の意図としては、この問題はあくまで
図形の問題であって、計算問題ではないはずです。
このような力技の解法で受験生の力量を
見たいわけではないと思うのです。
ですから、三角形ＡＥＦの面積を１７．２では
なく、１７．４と、不正確ではありますが、
５．９ｘ５．９を求めた受験生も正解にしようと
そのような設定をしたのではと考えられます。
あくまで仮定の話ですが、いかがなものでしょうか？
投稿: 桜組 | 2009年7月 4日 (土) 14時02分
私のコメントに対する検証ありがとうございます。お手数おかけして恐縮です。
確かに、採点の現場では正しい考察で異なる答えを導き出しても正当に評価されていることを期待します。
それでも、国立大学の付属の学校なのですから、わざわざ不正確な問題を出題しなくても良いのにと思います。
個人的には中学入試の問題にも良問とそうでは無いものがあると思います。この問題は残念ですが後者ではないか感じます。
投稿: | 2009年7月 4日 (土) 20時13分