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2009年7月14日 (火)

規則性の問題 図形 第1問 (神戸女学院中学 2008年 受験算数問題)

問題 (神戸女学院中学 2008年 受験算数問題) 難易度★★★

 面積が20c㎡の正三角形①があります。①の3辺の中点を

それぞれ結び、②のように黒い正三角形を作ります。②の白い

3個の正三角形に、同様に中点を結んで③のようにします。

この作業を繰り返したとき、次の問いに答えなさい。 

 

(1)⑥番目には、白い正三角形と黒い正三角形は何個に

  なるか答えなさい。

(2)③番目の白い正三角形の部分の面積は、②番目のときの

  何倍になっているか答えなさい。

(3)白い正三角形の部分の面積が5c㎡より小さくなるのは

  何番目か答えなさい。

Pic_0147_2

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解答

 (1)白い正三角形の数は、「3」を「回数-1」回、掛けたもので

黒い正三角形の数は、「1回前の白と黒の合計」となっています。

Pic_0148

⑤回目の白は、3×3×3×3=81個、黒は27+13=40個

⑥回目の白は、81×3=243個、黒は、81+40=121個

 

(2)白い正三角形の部分の面積は、回を追うごとに3/4に

なっていっています。よって、3/4倍です。

 

(3)最初の正三角形の面積が20c㎡なので、

20×3/4×3/4×・・・と、3/4を何回か掛けていって、

5より小さくなるところを探します。

「5」ではわかりにくいので、両辺「5」で割って、

4×3/4×3/4×・・・と「1」の比較をします

4×3/4=3  1より大きい  (②)

4×3/4×3/4×3/4×3/4=81/64  1より大きい (⑤)

4×3/4×3/4×3/4×3/4×3/4=243/256 

 → 1より小さい (⑥)

よって、⑥番目に、白い正三角形の部分の面積は

5c㎡より小さくなります。

   

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