規則性の問題 図形 第１問 （神戸女学院中学 2008年 受験算数問題）

問題　（神戸女学院中学　2008年　受験算数問題）　難易度★★★

　面積が２０ｃ㎡の正三角形①があります。①の３辺の中点を

それぞれ結び、②のように黒い正三角形を作ります。②の白い

３個の正三角形に、同様に中点を結んで③のようにします。

この作業を繰り返したとき、次の問いに答えなさい。　

（１）⑥番目には、白い正三角形と黒い正三角形は何個に

　　なるか答えなさい。

（２）③番目の白い正三角形の部分の面積は、②番目のときの

　　何倍になっているか答えなさい。

（３）白い正三角形の部分の面積が５ｃ㎡より小さくなるのは

　　何番目か答えなさい。

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解答

　（１）白い正三角形の数は、「３」を「回数－１」回、掛けたもので

黒い正三角形の数は、「１回前の白と黒の合計」となっています。

⑤回目の白は、３×３×３×３＝８１個、黒は２７＋１３＝４０個

⑥回目の白は、８１×３＝２４３個、黒は、８１＋４０＝１２１個

（２）白い正三角形の部分の面積は、回を追うごとに３/４に

なっていっています。よって、３/４倍です。

（３）最初の正三角形の面積が２０ｃ㎡なので、

２０×３/４×３/４×・・・と、３/４を何回か掛けていって、

５より小さくなるところを探します。

「５」ではわかりにくいので、両辺「５」で割って、

４×３/４×３/４×・・・と「１」の比較をします

４×３/４＝３　　１より大きい　　（②）

４×３/４×３/４×３/４×３/４＝８１/６４　　１より大きい　（⑤）

４×３/４×３/４×３/４×３/４×３/４＝２４３/２５６　

　→　１より小さい　（⑥）

よって、⑥番目に、白い正三角形の部分の面積は

５ｃ㎡より小さくなります。

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