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2009年7月 3日 (金)

数の性質 第9問 ユークリッドの互除法 (六甲中学 受験算数問題 改題)

問題 (六甲中学 改題) 難易度★★★

 長方形からできるだけ大きい正方形を切り取ります。

次に、残った長方形からできるだけ大きい正方形を 

切り取ります。これを何度か繰り返すと、最後に正方形

が残ります。この作業をするとき、次の問いに答えなさい。

 

(1)たて616cm、よこ1170cmの長方形からは何個の

  正方形ができますか。また、できた正方形の周の和は

  何cmですか。

 

(2)たて288cm、横176cmの長方形からできる

  正方形のうち、最後の正方形の1辺の長さは何cmに

  なりますか。また、これは元の長方形の1辺の長さと

  どのような関係にありますか。 

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解答

 (1)実際に作業をしてみます。

1170÷616=1...554 

           → たて616、よこ554の長方形が残ります

616÷554=1...62

554÷62=8...58

62÷58=1...4

58÷4=14...2

4÷2=2

できる正方形の数は、商の和で、1+1+8+1+14+2=27個

周の和は、

(616+554+62×8+58+14×4+2×2)×4=7136cm

  

 (2)同様にします

  288÷176=1...112

  176÷112=1...64

  112÷64=1...48

  64÷48=1...16

  48÷16=3

最後の正方形の1辺は16cm です。

288,176と16の関係は、16が最大公約数ということです。

     Pic_0095_5

 たて288cm、横176cmの長方形の中に

16×16の正方形をしきつめることができる ということと

288と176の最大公約数=16 ということが同じことを

意味していることがイメージできたでしょうか?

   

ユークリッドの互除法とも呼ばれる、最大公約数を求める方法です。

   

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