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2009年7月15日 (水)

平面図形の角度 第9問 (大阪星光学院中学 2009年 受験算数問題)

問題 (大阪星光学院中学 2009年) 難易度★★★★★

 1辺が6cmの正方形ABCDの辺AB上に、AP=3cmとなる

点P、辺AD上にAQ=4cmとなる点Qをとったとき、

角PCQの大きさを求めなさい。  

Pic_0156

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解答

 角PCQの大きさは、角PCB(■)と角QCD(□)の大きさの和を

角BCD(90度)から引けば求められます。

Pic_0157

PからBCと平行な線PRを引くと、角PCB=角CPRとなります。

次に、角QCDを移動させます。角QCDは、角PCBとの和を

求めたいので、角CPRの横に、

角QCD=角RPSとなるように線を引きましょう

Pic_0158_2

PS,PRとQCの交点を、それぞれ点M,Nとすると、

三角形PMNと三角形CNRが、3つの角が等しく相似なので、

角PMC=角CRP=90°ということがわかります。

 

三角形CNRと三角形CQDが相似で、CR:CD=1:2なので

相似比が1:2で、NR=2÷1=cmということがわかります。

すなわち、PN=5cm です。  

また、三角形PRSと三角形CDQは合同なので、

RS=2cmです。

Pic_0159_2

次に、三角形PMNと三角形CMSも、3つの角度が等しく、

相似なのですが、PN=CS=5cmなので、合同です。

よって、PM=CM となります。

すなわち、三角形CPMは直角二等辺三角形なので、

角PCQ=45° ということになります。

    

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