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2009年7月 7日 (火)

平面図形の長さ 第2問 (灘中学 2009年(平成21年度) 受験算数問題)

問題 (灘中学 2009年 受験算数問題) 難易度★★★★★

 下図の直線Lは、逆L字形の図形を面積の等しい3つの部分に

分けています。このとき、□に入る数値を求めなさい。

Pic_0105_3

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解答 

 まず全体の面積は、たて8cm、よこ18cmの長方形から

たて6cm、よこ14cmの長方形を除いたものなので、

18×8-14×6=144-84=60c㎡ です。

これが3等分されているので、ひとつ当たり20c㎡になります。

 

直線Lがどこを通るかわかりませんが、左側と右上は

台形の形になるようです。

台形の面積は、(上底+下底) × 高さ ÷ 2 =20 です。

左側の台形は、高さが2cmなので、上底+下底=20cm

右上の台形は、高さが4cmなので、上底+下底=10cm

となります。これらを「2」で割ると、それぞれ10cm、5cmです。

これは上底、下底の平均を意味しており、ある点を直線Lが

通ることを示しています。  

 

たとえば、高さ4cm、上底=4cm、下底=6cmの台形が

あるとき、上底と下底の平均の5cmがあるのは、高さ÷2の

2cmの位置です。この位置を中心として、斜辺を等積変形

することができます。この点は台形の面積が決まれば

必ず通る点になります。

Pic_0106

  

すなわち、直線L は下図の2点を通ることがわかります。

Pic_0107_4

2点が決まれば直線Lがどのようになるか、わかりますね。

2点をA、Bとし、下図のようにC,D,Eを定めると

Pic_0108_3

三角形ABDと三角形ACEは相似で、

AD=6cm、AE=8cm、BD=2cmのとき、

CE=2÷6×8=8/3 cm ということがわかります。

よって、求める□に入る数値は、

8-(1+8/3)=13/3=4と1/3(cm) です。

      

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