規則性の問題 操作 第２問 （継子立て） （開成中学 2009年 算数入試問題）

問題　（開成中学　2009年　算数入試問題）　難易度★★★★★

　１，２，３、・・・ ｎ の数が１つずつ書かれた ｎ 枚のカードを時計

回りに数の小さい順に円形に並べます。次の規則にしたがって、

カードを１枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれで

あるかを考えます。　

　・ まず、１の書かれたカードを取り除く。

　・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに

　　数えて２枚目のカードを取り除く。これをカードが１枚だけ残るまで

　　繰り返す。

たとえば、ｎ＝１３のときは図１のようにカードが取り除かれ、最後に

１０の書かれたカードが残ります。

（×印は取り除いたカードを表します）

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ｎ＝８のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（２）ｎ＝１６のとき、１周目にカードを取り除いた時点で、図２の

　ように８枚のカードが残り、次に２の書かれたカードから取り除く

　ことになります。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１６のとき

　最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。また、ｎ＝３２ と

　ｎ＝６４のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答え

　なさい。

（３）ｎ＝３５のとき、１周目に１，３，５の書かれたカードを取り

　除いた時点で、残るカードが３２枚で、次には７の書かれたカードを

　取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、

　ｎ＝３５のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（４）ｎ＝１００のとき、１周目に３６枚のカードを取り除いた時点で

　残るカードは６４枚です。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１００

　のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（５）ｎ＝2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。　

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解答

　（１）ｎ＝８の図を描いてみると、下図のようになります。

２周目に ２→６ と取り除かれ、次に４が除かれるので、

最後に残るのは「８」です。

（２）ｎ＝１６のとき、図２のように８枚の偶数のカードが残るので

これは、次の図のように変換できます。

そうです。（１）と同じになります。（１）では、「８」の位置の

カードが残ったので、この場合も「８」の位置、すなわち

「１６」の書かれたカードが残ることになります。

よって、答えは「１６」です。

また、ｎ＝３２のときですが、まず１周目に奇数のカードが

取り除かれます。すると残ったカードは２，４，６，８、・・・３２です。

これは、１，２，３、・・・１６まで並んでいるのと等しくなります。

よって、ｎ＝１６のとき、最後に残るのは「１６」でしたので、

この「１６」に相当するのは「３２」です。よって、ｎ＝３２のとき

最後に残るのは「３２」のカードです。

次に、ｎ＝６４のときも、同様に１周目に奇数がすべて取り除かれ

２，４，６、・・・６４の３２枚の偶数のカードが残ります。

これはｎ＝３２のときと同等に見なせるので、「６４」のカードが

最後に残ります。

（３）ｎ＝３５の場合です。　１，３，５を取り除くと３２枚残ります。

３２枚になった時点で、ｎ＝３２と見なすことができます。

次に取り除く「７」を１（スタート）として、ｎ＝３２のものと考えると

「３２」のカードに相当する場所にあるカードが最後に残ることに

なります。よって、ｎ＝３５のとき最後に残るのは、「６」のカード

ということがわかります。

（４）ｎ＝１００のとき、３６枚取り除くと６４枚になると、問題に

ヒントがあります。ｎ＝６４のとき、最後に残るのは「６４」の

カードでした。よって、ｎ＝１００のとき、残りカードが６４枚に

なった時点での、スタートの数字と、その前の数字を調べれば

よいですね。

３６枚目に取り除くのは、３６ｘ２－１＝７１　のカードで、

次に取り除くのは「７３」のカードです。すなわち下図のように

なります。

よって、ｎ＝１００のとき、最後に取り除くカードは「７２」のカード

ということがわかります。

（５） ｎ＝2009のときを求めます。

　（１）、（２）から、ｎ の数を２倍、２倍としていくと、最後に残る

カードは、２倍、２倍となることがわかりました。　

このことを「２００９」という数に利用して解いていきます。

　（４）でｎ＝１００のとき、最後に残る数は「７２」　ということが

わかりました。これを２倍、２倍、・・として2009に近づけます。

ｎ＝200　のときは　７２×２

ｎ＝400　のときは、７２×２×２

ｎ＝800　のときは、７２×２×２×２

ｎ＝1600　のときは、７２×２×２×２×２　＝７２×１６＝１１５２です。

ですから、ｎ＝2009のとき、１周目に409枚のカードを取り除くと

残るカードは1600枚です。　このことを利用して、最後に残る

カードに書かれた数を求めていきます。

　409枚目に取り除くカードは、409×２-１＝817　で、次に取り除く

カードは819です。これを図にすると下図のようになります。

８１９＋７２×１６＝８１８＋１１５２＝１９７０　なので、

ｎ＝2009のとき、最後に残るのは「1970」のカードとなります。

この問題を時間内に解ける小学生がどれくらいいるのでしょうか・・・

　【関連問題】

　　規則性の問題　（慶應義塾湘南藤沢中等部　2002年）

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