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2009年7月 1日 (水)

規則性の問題 操作 第1問 (筑波大学附属駒場中学 2008年 受験算数問題)

問題 (筑波大学附属駒場中学 2008年 受験算数問題)

     難易度★★★

 

 コインを増やす魔法を使える魔法使いがいます。

この魔法使いが使える魔法は、以下の2種類です。

 

魔法A:コインの数が2倍になる

魔法B:コインの数を3枚増やす

 

最初にコインが1枚あったときに、次の問いに答えなさい。

 

(1)この魔法使いに5回魔法をかけてもらったとき、

コインが最も多くなるときと、最も少ないときの枚数を

答えなさい。

 

(2)2枚~10枚にコインを増やしてもらおうとしたとき、

この魔法では作れない枚数がありました。それは何枚の

ときか、答えなさい。

 

(3)2枚~2008枚にコインを増やしてもらおうとしたとき、

この魔法で作れない枚数は何通りあるか答えなさい。

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解答

 (1)樹形図を描くとわかります

Pic_0083_3

樹形図は、上が魔法A(×2)、下が魔法B(+3)です。

多くなる場合を青、少なくなる場合を赤で示してあります。

最も多くなるのは、B→A→A→A→Aとしたときで、64枚

最も少なくなるのは、A→A→B→B→Bとしたときで、13枚

となります。

  

 (2) (1)の樹形図から、2~10枚で可能なのは

2,4,5,7,8,10です。よって、この魔法で作れないのは

3,6,9枚のコイン、となります。

  

 (3) (2)の結果から、どうやら3の倍数の枚数を作ることが

できないようだと、予想はつきます。ではそれは何故でしょう。

 

1枚のコインにA,Bそれぞれの魔法をかけた2枚、4枚の

ところに注目します。すると、

「2」・・・3で割ると余りが「2」→3×0+2

「4」・・・3で割ると余りが「1」→3×1+1   です。

この状態で、魔法A(x2になる)をすると

2→4、4→8 です。

(3×0+2)×2=3×0+4 =3x0+3+

(3×1+1)×2=3×2+

これは、あまりの「2」、「1」にx2をして、

あまり「1」、あまり「2」の状態になったのと等しいです。

すなわち、どちらの場合も、余りが消えず、入れ替わるので、

さらに魔法Aをかけても3の倍数にはならないということですね。

 

次に、魔法B(+3)ですが、これをしても3で割った余りの部分に

変化は出ません。

 

よって、魔法A,Bのどちらを使っても3の倍数の枚数は

永遠に作ることができないのです。

 

問題の2~2008枚のコインのうち、3の倍数は

2008÷3=669...1 ですから、669通りの

作れない枚数がある、ということです。

   

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コメント

些細なことですが、問題文の「魔法B:コインの数を3個増やす」の部分を「魔法B:コインの数を3枚増やす」に変えて”枚”に統一した方がしっくり来ると思います。

投稿: 万打無 | 2010年12月12日 (日) 18時11分

万打無さま、コメントありがとうございます。
たしかに、統一した方がよかったですね。

問題文が読みやすいよう直してみました。

またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2010年12月14日 (火) 16時22分

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