« 和と差 第5問 (豊島岡女子学園中学 2007年 受験算数問題) | トップページ | 文章題 第8問 つるかめカブトムシ算 (つるかめ算の発展) (開成中学 受験算数問題) »

2009年7月24日 (金)

立体図形の切り口 第6問 (久留米大学附設中学 2007年 受験算数問題)

問題 (久留米大学附設中学 2007年) 難易度★★★★★

 1辺6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。

この立方体を、頂点A,C,Fを通る平面と、頂点B,D,Eを

通る平面で切断し、残った大きい立体を、さらに面EFGHから

高さ3cmのところで水平に切断し、面EFGHが含まれる立体を

P、もう1つの立体をQとしました。このとき次の問いに答えなさい。

   Pic_0189

(1)立体Pと立体Qに切断したときの断面の面積を答えなさい。

(2)立体Pの体積を答えなさい。

(3)立体Qの体積を答えなさい。

------------------------------------------------

解答

 (1)立体P,Qに分断される前の立体は、AFとBEの交点をM,

ACとBDの交点をNとすると、下図のような立体になります。

     Pic_0190_2

点Mは、面ABFEの中心の点なので、辺EFから高さ3cmの所に

あります。よって、立体P,Qに切断する面は、点Mを通り、

高さ3cmということから、CF、CG,DE,DHの真ん中の点を

通ります。

     Pic_0191

立体P,Qの切断面は

Pic_0192

上の図の緑色の部分になり、

その面積=6×6-3×3÷2×2=27c㎡です。

   

(2)立体Pの面積は、立方体の下半分の直方体から、

三角すいを2つ引けば求められます。

三角すい2つの体積=3×3÷2×3÷3×2=9c㎥

よって、立体Pの体積=6×6×3-9=99c㎥ となります。

    

(3)立体Qの体積については、いろいろと求める方法があります。

一例としては、立体(P+Q)の体積 -立体Pの体積 とするのが

一般的と思いますので、その解き方でやってみます。

 

立体(P+Q)の体積

  =(立方体)-(三角すいA-BDE)-(三角すいB-ACF)

        +(三角すいN-ABM)

三角すいA-BDE と 三角すいB-ACF は体積が等しいので、

片方の計算だけすると、6×6÷2×6÷3=36c㎥ です。

これが2つあるので、2つで 72c㎥ です。

 

三角すいN-ABMの体積=6×3÷2×3÷3=9c㎥です。

よって、立体Qの体積=6×6×6-72+9-99=54c㎥ です。

   

<別解>

下図のように、立体Qが大きな三角S-MRTの中に入っている

と考えることもできますね。

Pic_0193

すると、三角すいD-RIJ と三角すいC-KLTの体積を

足すと、三角すいS-CDNの体積と等しくなります。

ゆえに、立体Qの体積は、

三角すいS-MRTの体積 - 三角すいS-CDNの体積x2

となって、

三角すいS-MRT と 三角すいS-CDN は相似比2:1

なので体積比2×2×2:1×1×1=8:1

よって、立体Qの体積=

三角すいS-CDNの体積×8 - 三角すいS-CDNの体積×2     

=三角すい S-CDNの体積 × 6 となります。

 

三角すい S-CDN の体積=6×3÷2×3÷3=9c㎥ なので

立体Qの体積=9×6=54c㎥ となります。

 

他にも解き方があると思いますので、考えてみてください。

        

にほんブログ村 受験ブログ 中学受験へ     ←参考になりましたら、応援お願いします 
にほんブログ村    ランキング参加中です。

 

Tb_2←イメージでわかる中学受験算数

|

« 和と差 第5問 (豊島岡女子学園中学 2007年 受験算数問題) | トップページ | 文章題 第8問 つるかめカブトムシ算 (つるかめ算の発展) (開成中学 受験算数問題) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 立体図形の切り口 第6問 (久留米大学附設中学 2007年 受験算数問題):

« 和と差 第5問 (豊島岡女子学園中学 2007年 受験算数問題) | トップページ | 文章題 第8問 つるかめカブトムシ算 (つるかめ算の発展) (開成中学 受験算数問題) »