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2009年7月23日 (木)

和と差 第4問 (フェリス女学院中学 2007年 受験算数問題)

問題 (フェリス女学院中学 2007年) 難易度★★★★

りんごジュースとオレンジジュースがあります。それぞれの本数の

比は53:54です。これらのジュースで次のようなセットを作ります。

   

Aセットは、りんごジュース1本とオレンジジュース2本を入れます。

Bセットは、りんごジュース2本とオレンジジュース2本を入れます。

Cセットは、りんごジュース3本とオレンジジュース2本を入れます。

  

はじめ、Bセットだけをできるだけたくさん作ると、5本のジュースが

余りました。その5本のうち、りんごジュースは [ ア ] 本、オレンジ

ジュースは [ イ ] 本でした。このことから、りんごジュースは

全部で [ ウ ] 本あることがわかります。

 

 そこで、はじめからやりなおして、A、B、Cの3種類のセットを

それぞれいくつか作ると、全てのジュースをちょうどつめ合わせる

ことができました。このとき、Bセットの全体に入っているジュースの

本数と、Cセットの全体に入っているジュースの本数は等しいです。

このとき、次の問いに答えなさい。

 

(1)[ア]、[イ]、[ウ]にあてはまる数を求めなさい。

(2)Cセットはいくつありますか。

-----------------------------------------------

解答

 (1)Bセットの数を「B」個とすると、Bセットだけできるだけ作ると

ジュースの数は、りんご:2B、オレンジ:2B、あまり:5本 なので

この5本のジュースについて考えます。オレンジの方が多いので、

(りんご、オレンジ)=(0本、5本)、(1本,4本)、(2本,3本)

が考えられますが、(2本、3本)ではBセットがまた作れるので、

これは不適です。よって、余ったジュースは、

(りんご、オレンジ)=(0本、5本)もしくは(1本、4本)ですね。

  

まず、(りんご、オレンジ)=(0本、5本)のとき、

りんご:オレンジ=53:54 ということから、54-53=1に相当

するのが5本ということが言えます。よって、りんごジュースは

53×5=265本、オレンジジュース=54×5=270本です。

しかしこの場合、りんごジュースは2本ずつ入れていくので、

りんごジュースの本数は偶数でなければ、あまりが0本に

ならないはずです。265本では2本ずつ入れていくと、

りんごジュースの余りが0本にならないので、これは不適切です。

  

つぎに、(りんご、オレンジ)=(1本、4本)のとき、

オレンジ-りんご=4-1=3本で、りんご:オレンジ=53:54 

なので、54-53=1に相当するのが3本となり、

   りんごジュース : 53×3=159本

   オレンジジュース : 54×3=162本 となります。

この場合は、Bセットを実際に作っていくと、余りが1本と4本に

なるので、答は、ア=1、イ=4、ウ=159 となります。

  

(2)(1)から、りんごジュースは159本、オレンジジュースは162本

です。A,B,Cセットをいくつか作り、Bセット全体のジュースの数と

Cセットの全体のジュースの本数が等しいので、Cセットの数をC個

とすると、2B+2B=3C+2C となります。つまり4B=5Cです。

このことから、Bセットの数:Cセットの数=5:4とわかります。

面積図を描くと、下図のようになります。

Pic_0182_3

CがAのところへ入ると3個少ないということですね。

よって、A-C=3 ですから、A=C+3です。

オレンジは全て2本ずつ入れるので、2A+2B+2C=162本

なので、A+B+C=81セットです。

よって、問題は、

A=C+3、4B=5C、A+B+C=81のとき、

Cはいくらか、ということになります。

ですから、C+3+B+C=B+2C+3=81

両辺に4をかけて、

4B+8C+12=324

5C+8C=13C=312

よって、C=312÷13=24セット となります。 

 

<別解>

面積図から、「つるかめカブトムシ算」と考えます。

すなわち、B:C=5:4と、比が出ているので、ひとくくりにします。

(5×2+4×3)÷(5+4)=22/9 です。

Pic_0183_2

81セットがすべて22/9だったとき、81×22/9=198個なので

図の赤い部分は198-159=39個となります。

よって、A=39÷(22/9 - 1)=27セット。

⑨=81-27=54

よって、C=54÷9×4=24セット となります。

         

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コメント

私の場合(2)について異なる解き方をしました。

BセットとCセットに用いたジュースの本数が同じなので、BセットとCセットそれぞれの本数は4と5の最小公倍数である20の倍数になり、またBセットとCセットを合わせた本数は40の倍数になる。
ジュースは全部で321本あるので、全体からBセットとCセットの合計を除くとAセットの本数になる。
Aセットは3本のジュースで構成されているので、321から40の倍数を引いた結果が3の倍数になる時の40の倍数の数がBセットとCセットの合計の本数になる。
条件を満たすBセットとCセットの合計の本数は120と240になる。
BセットとCセットの合計の本数が120本の場合、Bセットにおけるりんごジュースとオレンジジュースの内訳はりんごジュース30本、オレンジジュース30本。Cセットにおけるりんごジュースとオレンジジュースの内訳はりんごジュース36本、オレンジジュース24本。これらを全体の数であるりんごジュース159本オレンジジュース162本から差し引くと残りはりんごジュース93本オレンジジュース108本になる。残りのりんごジュースとオレンジジュースの本数比が1:2にならないのでこの場合は不適である。
同様にBセットとCセットの合計の本数が240本の場合でBセットCセットそれぞれのりんごジュースとオレンジジュースの内訳を求めそれを差し引くと残りはりんごジュース27本オレンジジュース54本になる。残りのりんごジュースとオレンジジュースの本数比が1:2になっているのでAセットをちょうど作ることができる。
よって答えは240÷2÷5=24セットになる。

投稿: 万打無 | 2010年12月19日 (日) 21時07分

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