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2009年7月17日 (金)

数の性質 第11問 (麻布中学 2006年、浅野中学 2007年、洛南高校附属中学 1999年 算数入試問題)

問題 (麻布中学 2006年、浅野中学 2007年、

     洛南高校附属中学 1999年 算数入試問題)難易度★★★

 

(1)4で割ると1あまり、5で割ると1あまる、2けたの

   整数のうち、最も大きい整数を答えなさい。  

(2)3で割ると2余り、5で割ると4余り、8で割ると3余る

   整数のうち、500に最も近い数を答えなさい。

                         (麻布中学 2006年) 

 

(3)3で割ると2余り、4で割ると2余り、5で割ると2余るような

   7の倍数の中で、小さい方から4番目の整数を答えなさい。

(4)3で割ると2余り、5で割ると1余り、8で割ると5余るような

   7の倍数の中で、小さい方から3番目の整数を答えなさい。

                         (浅野中学 2007年)

 

(5)11で割り切れ、12で割ると1余る整数のうち、

   最も小さい数を求めなさい。 

(6)1999にある整数を加えて、11で割り切れ、

   12で割ると1余る数をつくります。

   加える数のうち、最も小さい数を求めなさい。

                    (洛南高校附属中学 1999年)

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解答

 (1)4で割ると1あまり、5で割ると1あまる最も小さい整数は

「1」ですね。 これに、4と5の最小公倍数である「20」を加えた

「21」も、4で割ると1あまり、5で割ると1あまります。

よって、「1+20×□」という整数が、4で割ると1あまり、5で

割ると1あまる整数になります。

最初に「1」が思いつかず、「21」を思いついても、

「21+20×□」という整数ということで大丈夫です。

よって、最も大きい2けたの整数では、「81」です。

 

 

(2) (1)の応用ですね。まず、小さい整数で、

問題の条件に合う整数を考えましょう。

まずは、3で割ると2余り、5で割ると4余る整数を探します。

すると、「14+15×□」です。すなわち、14,29,44,59・・

となり、この中で、8で割って3余るのは「59」ですね。

3,5,8の最小公倍数は120ですから、問題の条件に合う

整数は、「59+120×□」です。このうち、500に近い整数は

□=3、もしくは4 で、419、539 ですが、539の方が

500に近いので、答は「539」です。

    

 

 (3)3で割ると2余り、4で割ると2余り、5で割ると2余る整数は、

まず「2」があります。よって、この「2」に3,4,5の最小公倍数の

60を足していったものが、3,4,5のどれで割っても2余る整数

となります。

 

    2,62,122,182,242,302・・・

 

この中で最も小さい7の倍数は、182です。 

求めるものは小さい方から4番目の整数なので、

182に 3,4,5,7の最小公倍数の 420 を4回足したもの、

つまり、182+420×3=1442 が答えです。

 

 

 (4)3で割ると2余り、5で割ると1余り、8で割ると5余る整数を

探します。まず、3で割ると2余り、5で割ると1余るものは、11です。

11に、3と5の最小公倍数の15を加えていったものから、

8で割って5余るものを探すと、

11,26,41,56,71,86,101,126・・・から、101がそうです。

101に3,5,8の最小公倍数である120の倍数をくわえていくと

101、221、341、461、581・・・となり、7の倍数で最も小さい

ものは581です。求めるものは小さい方から3番目なので、

581に、120と7の最小公倍数の840を2回足した、

581+840×2=2261 が答えです。

 

 

 (5)11の倍数で、12で割ると1余る整数を探します。

11,22,33,44,55,66,77,88,99,110,121

12は偶数なので、12で割って1余る整数は、 

12の倍数+1 → 偶数の倍数+1 → 奇数です。

よって、候補から奇数を選ぶと、

11,33,55,77,99,121,・・・

すると、121が12で割ると1余ります。

 

 

(6)11で割り切れて12で割ると1余る整数は、

121+(11と12の最小公倍数)×□ で表せます。

11と12の最小公倍数は、11×12=132です。

121+132×□で、1999に近いものを探すと、

(1999-121)÷132=14あまり30

よって、あと 132-30=102 を加えればよいです。

 

 

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