平面図形の面積 第２２問 （巣鴨中学 2006年（平成18年度） 受験算数問題 改題）

問題　（巣鴨中学　2006年　改題）　難易度★★★

　図のように直角三角形ABCがあって、BCの真ん中に

点Dをとると、AC＝BD＝DCとなり、ADの長さが６ｃｍと

なりました。このとき次の問いに答えなさい。　　

（１）三角形ABCの面積を求めなさい。

（２）三角形ABCを２つ、ADが重なるように重ねるとき、

　　図の色の付いた部分の面積を求めなさい。

（３）三角形ABCを２つ、BDが重なるように重ねると、

　　図の色の付いた部分の面積を求めなさい。

-------------------------------------------------

解答

　（１）三角形ABCは、三角形ABDと三角形ACDから成っています。

BD＝DC、高さACが共通なので、ふたつの三角形の面積は

等しいことがわかります。

長さはAD＝６ｃｍしかわかっていませんが、

三角形ACDは直角二等辺三角形で、正方形の半分です。

すなわち、ADは正方形の対角線に等しく、

三角形ABCの面積は、AC,DCを辺とする正方形の面積と

等しいこととなり、６×６÷２＝１８ｃ㎡　となります。

（２）下図のように点B'、Eを定めると

三角形ACDと三角形BCB’は相似で、相似比は１：２ですので、

三角形ACDと三角形BCB’の面積比は１×１：２×２＝１：４です。

三角形ADEの面積を①とすると、ＡＤ：ＢＢ’＝１：２なので、

面積比は下図のようになります。

三角形ACDの面積＝１８÷２＝９ｃ㎡なので、

三角形ADEの面積＝９÷３＝３ｃ㎡　と求められます。

（３）交点F、FからBCへの垂線を下ろしたところをGとすると

図の対称性から、BF＝DFなので、三角形BDFは

二等辺三角形で、三角形BGFと三角形DGFは合同です。

よってBG＝GDで、BD＝DCなので、BG：BC＝１：４です。

三角形BGFと三角形BCAは相似で、相似比が１：４

なので、その面積比は１×１：４×４＝１：１６です。

よって三角形BFDと三角形ABCの面積比は２：１６＝１：８です。

三角形ABCの面積＝１８ｃ㎡なので、三角形BFDの面積は

１８÷８＝２．２５ｃ㎡　となります。

     ←参考になりましたら、応援お願いします
にほんブログ村 　　　ランキング参加中です。

←イメージでわかる中学受験算数