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2009年7月 5日 (日)

立体図形の展開図 第3問 (巣鴨中学 2005年 算数入試問題)

問題 (巣鴨中学 2005年 算数入試問題) 難易度★★★

 図のような六角形ABCDEFがあり、辺の長さはすべて6cmです。

このとき、次の問に答えなさい。 

          Pic_0706q

(1)三角形ABCの面積と三角形ABFの面積を答えなさい。

(2)三角形ACEの面積と三角形BDFの面積の差を答えなさい。

(3)AC,CE,EAを折り目として六角形ABCDEFを折ると、

   ある立体図形ができます。その体積を答えなさい。

   ただし、角すいの体積は、底面積×高さ÷3で求められるものと

   します。

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解答

 (1)三角形ABCは、直角二等辺三角形なので、その面積は、

6×6÷2=18c㎡ です。

 

 三角形ABFは、等しい辺の長さが6cmの二等辺三角形で、

角A=150°なので、角ABF=角AFB=15°です。

下の図1のように、BAを延ばし、その線にFから垂線を下ろし、

点Gとすると、

Pic_0707a

三角形AFGは、角FAG=15+15=30°、角AFG=60°

の直角三角形なので、FGの長さはAFの長さの半分の3cmと

わかり、三角形ABFの面積は、ABを底辺、GFを高さとして

6×3÷2=9c㎡ と求めることができます。

 

 (2)三角形ACEと三角形BDFは、それぞれ下の図2のように

六角形ABCDEFから、三角形ABCの面積(18)×3を除いたもの

と、三角形ABFの面積(9)×3を除いたものになります。

          Pic_0708a

三角形ACEの方が、三角形BDFよりも、(18-9)×3=27c㎡、

多くの面積が取り除かれているので、2つの三角形の面積の差も

27c㎡ となります。(元の六角形ABCDEFの面積は同じなので)

 

 (3)できる立体は、正三角形ACEを底面とすると、下の図3の

ようになります。(真上から見た図です)

       Pic_0709a

横に倒してみると、

         Pic_0710a

底面に直角二等辺三角形、高さ6cmの三角すいだとわかり、

その体積は、6×6÷2×6÷3=36c㎥ となります。

   

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