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2009年7月17日 (金)

数の性質 第13問 (青山学院中等部 2002年(平成14年度) ユークリッドの互除法)

問題 (青山学院中等部 受験算数問題 2002年) 

    <ユークリッドの互除法 難易度★★★>

 横がたてより長い長方形の紙から正方形を取っていきます。

図のように、まず短い方の辺を1辺とする正方形をできるだけ

取ります。紙が余ったら、さらにその余った長方形の短い方の

辺を1辺とする正方形をできるだけとります。これをくりかえして、

余りがなくなったところで終わりにします。

(1)たて5cm、よこ18.6cmの長方形では、正方形は何個

できるか答えなさい。

(2)正方形をちょうど5個とるには、はじめの長方形のたてを

10cmとすると、よこの長さとして考えられるのは何通りあるか

答えなさい。

Pic_0166

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解答 

 (1)18.6÷5=3あまり3.6

たて5cm、よこ3.6cmの長方形が残ります。

5÷3.6=1あまり1.4

たて1.4cm、よこ3.6cmの長方形が残ります。 

3.6÷1.4=2あまり0.8

たて1.4、よこ0.8の長方形が残ります。

1.4÷0.8=1あまり0.6

たて0.6、よこ0.8の長方形が残ります。

0.8÷0.6=1あまり0.2

たて0.6、よこ0.2の長方形が残ります。

0.6÷0.2=3   ここで紙がなくなります。

 

いままでの商をすべて足すと、

3+1+2+1+1+3=11個 の正方形ができます。

   

(2)こちらの問 より正方形の数が1個多いですね。

今回は、正方形の数と、できる形の数え方について考えましょう。

正方形が1個の場合と、2個の場合は、考えられるのは

1通りです。

Pic_0167

次に、正方形が3個に増えたとき、どうなるか考えますと、

2個の場合の正方形が2個並んだ状態に、新しい正方形が

たて方向からくっつくか、横方向からくっつくか、という問題に

なります。

Pic_0168

すると、正方形が3個の場合は、2通りとなります。

さらに正方形が4個に増えると、3個のときの2通りに

それぞれ新しい正方形がたて方向、よこ方向から

くっつき、2通りのものが、それぞれ2倍に増えて、

4通りとなります。

 

では、正方形が5個になると、4通りのものに、

新しく正方形がたて方向、よこ方向からそれぞれ

くっついて、4×2=8通りとなります。

Pic_0169

ちなみに、正方形が6個になったら、この8個に

それぞれ、たて方向、よこ方向から新しい正方形が

くっつくので、8×2=16通り となりますね。

    

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