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2009年7月28日 (火)

場合の数 第6問 道順 (慶應義塾中等部 2001年 中学受験算数問題)

問題 (慶應義塾中等部 2001年 中学受験算数問題)

     難易度★★★★★

 

 1辺5cmの立方体と1辺10cmの立方体を下図のように

2辺が接するように重ねました。 

    Pic_0210

点Aが点Pから出発して、この立体の辺上を動きます。

ただし、一度通った辺、頂点を再び通ることはなく、

一度下に降りたら上にあがることはないものとします。

このとき次の問題に答えなさい。

 

 (1)点Aが点Pから点Qまで移動する行き方は何通り

考えられるか答えなさい。

 (2)点Aが点Pから点Rまで移動する行き方は何通り

考えられるか答えなさい。

--------------------------------------------------

解答

 (1)点Aは一度降りると戻れないので、まず点Pを含む

立方体の一番上の面を考え、それぞれの頂点への行き方を

数えます。すると、

Pic_0212_2

点Pの位置が初期位置なので、1通り、それ以外の3頂点は2通り

となります。この面から、Qのある面へ点Aが移動していきます。

      Pic_0213

まず、一番簡単なのは、Qの真上から降りてくるものです。

これは2通りがそのまま点Qへ行きます。 ・・・①

次に、点Pから降りたときの点Aの動きについて考えると、

Pic_0214_2

このように、4通りの行き方があることがわかります。 ・・・②

次に、残りの2箇所ですが、図形の対称性から、一方を

検証すればよいです。すると、

    Pic_0215

4+2=6通りです。 もう一方も6通り。 ・・・③

ゆえに、点Pから点Qへの移動する行き方は、

①、②、③の合計で、2+4+6×2=18通り となります。

   

(2)まず、点Aが10cmの立方体の点Qのある面の各頂点へ

移動する行き方が何通りなのか考えます。

最初にPからすぐ降りてきた場合(1通り)の動きは下図です。

Pic_0216

Pの真下以外は、4通りになります。

次に、点Qに降りてくる場合(2通り)の動きは、

Pic_0217

各頂点8通りの行き方があることがわかります。

  

残りの2箇所は、図形の対称性から、片方を調べればよいです。

Pic_0218

すると、各頂点が6通りということがわかります。

以上から、点Aの動きを合計すると次のようになります。

Pic_0219

ここから点Aは、Rを含む面へ降りていきます。

Pic_0220

Rを含む面に降りたときの行き方は、Rの真上からの24通りは

そのままRに到着し、他の3箇所にきた点Aの動きは下図のように

なるので

Pic_0221

点Aが点Pから点Rまで移動する行き方は、

21×2 + 24×2×2 + 24=162通り となります。

         

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