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2009年7月20日 (月)

反射 第1問 (筑波大学附属駒場中学 2000年 入試問題 算数)

問題 (筑波大学附属駒場中学 2000年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

 ABの長さがBCの長さより長い長方形ABCDがあります。

頂点Dと同じ位置に点Pがあり、この点Pを次のように動かします。

 

ADを半径として、頂点Aを中心に回転させ、AB上のAP=ADの

位置に移動させます。次にBPを半径として、頂点Bを中心に回転

させ、BC上に移動させます。さらにCPを半径として、頂点Cを中心

に回転させ、CD上に移動させます。

 すなわち、点PをA→B→C→D→A→・・・の順に中心として

点Pまでの長さを半径として長方形の内部を移動させます。

点Pが次の辺に移動できなくなったところで終わりとします。

  Pic_0883q

 たとえば、AB=7cm、BC=4cmのときは、上図のように

①→②→③の順に点Pは移動します。CD上に移動すると、

DP=6cmとなり、DA上に移動できないので、点Pの移動は

3回で終わりとなります。

 

次の問に答えなさい。

 

 (1)AB=15cm、BC=11cmのとき、点Pはいくつかの円周上を

    通り、移動を終えます。このとき点Pが通った円周の半径を

    順番にすべて答えなさい。

 

 (2)AB=37cm、BC=32cmのとき、点Pはいくつかの円周上を

    通り、移動を終えます。このとき点Pが最後に通った円周は、

    どの頂点を中心にしたものか答えなさい。

 

 (3)AB=2000cm、BC=1997cmのとき、点Pはいくつかの

    円周上を通り、移動を終えます。このとき点Pは何個の円周を

    通るか求めなさい。また、点Pが最後に通った円周は、どの

    頂点を中心にしたものか答えなさい。  

------------------------------------------------

解答

 (1)AB=15cm、BC=11cmのときは、下の図1のように

 Pic_0884a

①(半径11cm)→②(半径15-11=4cm

→③(半径11-4=7cm)→④(半径15-7=8cm

→⑤(半径11-8=3cm)→⑥(半径15-3=12cm)

 以上、5回の移動をします。

 

 (2)AB=37cm、BC=32cmのとき、

点Pが移動する円周の半径は、下の図2のようになります。

 Pic_0885a

 半径の長さは、ABとBCの長さの差(5cm)ずつ変化することに

気づくと思います。

 

 AD=32cm で、32÷5=6あまり2 より、円周の中心は

A(0)→C(1)→A(2)→C(3)→A(4)→C(5)→A(6、半径2cm)

の順に移り、偶数番目のが最後の中心とわかります。

半径2cmの次は37-2=35cmで、点Pは移動できません。

 

なお、点Pが移動した円周の数は、6×2+1(A(0)の分)=13個

です。

 

 (3)AB=2000cm、BC=1997cmのとき、

点Pが移動する円周の半径は、下の図3のようになります。

 Pic_0886a

 1997÷(2000-1997)=665あまり2 より、

(2)と同様に考えると、665は奇数なので、最後の円周の中心は

頂点C ということがわかります。

 

 円周の数は、665×2+1 の式で求めることができ、

点Pは、1331個の円周を通ることがわかります。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

  

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