立体図形の体積 第１問 （開成中学 算数入試問題 2001年）

問題　（開成中学　算数入試問題　2001年）　難易度★★★★★

　１辺の長さが１０ｃｍのひし形ＡＢＣＤがあり、

対角線ＡＣ＝１２ｃｍ、ＢＤ＝１６ｃｍ です。

Ａ，Ｃから、面ＡＢＣＤに垂直にＡＰ，ＣＱを８ｃｍ

延ばしたときにできる立体が下図です。

この立体を、面ＡＢＣＤと平行な面で切ったとき

次の問いに答えなさい。

（１）切断面の図形の１辺が全て等しくなったとき、

　　その１辺の長さを求めなさい。

（２）切断面の図形の周囲の長さが３２ｃｍのとき、

ＰＱを含む方の立体の体積を求めなさい。

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解答

（１）立体を真上から見た図を描いてみると、

下図のようになります。

三角形ＡＢＣと三角形ＢＥＦは相似で、

ＡＣ：ＡＢ＝１２：１０＝６：５なので

ＥＦ：ＥＢ＝６：５　です。

　（２）ＥＦとＢＤの交点を点Ｇとすると、

図形の外周（３２ｃｍ）＝（ＡＥ＋ＥＧ）× ４といえるので

ＡＥ＋ＥＧ＝８ｃｍ、ＥＧ：ＥＢ＝５：３なので

ＥＢ＝ＥＡ＝５ｃｍとなるので、ＥはＡＢの真ん中の点となります。

よって、この切断面は立体のちょうど真ん中を切断しています。

切断面の図形の各頂点をＥＦＨＩＪＫとすると、真上から

見ると下図のようになります。

向きを変えて、各点に名前Ｌ，Ｍ，Ｒ，Ｓをつけると

求める立体は、三角柱ＦＭＳ-ＥＬＲ２個分と、

四角すい　Ｆ－ＨＭＳＱ４個分の体積ということになります。

三角柱ＦＭＳ－ＥＬＲの体積は

４×４÷２×６＝４８ｃ㎥

四角すいＦ－ＨＭＳＱの体積は

３×４×４÷３＝１６ｃ㎥　となります。

よって、求める体積は、４８×２＋１６×４＝１６０ｃ㎥　です。

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