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2009年6月23日 (火)

切断された三角柱(切断三角柱)の体積の求め方

問題

 

 三角柱の体積を求める公式は、<底面積×高さの平均

 

と知られていますが、なぜそのようになるのか、

 

切断三角柱の体積の求め方を下図を用いて説明しなさい。

 

 なお、下図の三角柱ABC-DEFを各辺のP,Q,Rを通る平面で

 

切断したところ、切断面はAD、BE、CFに対して垂直でした。

 

この場合、底面積=三角形PQRの面積です

 

Pic_0043_2

 

 

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--------------------------------------------

解答

 

 三角柱ABC-DEFを平面PQRで上下に分けて、

 

三角柱ABC-PQRについて考えてみます。

 

Bを通り、PQRと平行な面BSTを図のように定めると

 

Pic_0044_2

 

三角形PQRの面積=三角形BSTの面積 です。

 

三角柱ABC-PQRの体積

 

=三角柱BST-PQRの体積+四角すいB-ATSCの体積

 

三角形PQRの面積を<PQR>と表すと、

 

三角柱BST-PQRの体積=<PQR>×BQ

 

 

 

四角すいB-ATSCの体積について考えます。

 

BからSTに垂線BLを下ろすと、その垂線は台形ATSCに

 

対しても垂直です。(なぜなら面PQRがAP,CRに垂直)

 

Pic_0045

 

よって、四角すいB-ATSCの体積

 

=台形ATSCの面積×BL÷3です。

 

(四角すいの体積=底面積×高さ÷3 なので)

 

=(AT+CS)×ST÷2 × BL ÷3 ですが、

 

これは次のように書き換えられます。

 

Pic_0046_2

 

=<PQR>× (AT+CS)÷3

 

よって、三角柱BST-PQRの体積=<PQR>×BQなので

 

三角柱ABC-PQRの体積=

 

Pic_0047_2 

 

Pic_0045_2

 

下の部分の三角柱PQR-DEFについても

 

同様にすると、三角柱の体積=

 

<PQR>×(DP+EQ+FR)÷3となるので、

 

三角柱ABC-DEFの体積

 

=<PQR>×(AP+BQ+CR)÷3

 

  +<PQR>×(DP+EQ+FR)÷3

 

=<PQR>×{(AP+DP)+(BQ+EQ)+(CR+FR)}÷3

 

=<PQR>×(AD+BE+CF)÷3

 

と表せるので、どのような三角柱においても

 

三角柱の体積=底面積 × 高さの平均

 

という式で求められることがわかります。

 

   

 

<別解>

 

三角柱ABC-PQRにおいて、面BPRを通る平面で

 

三角すいB-PQR と 四角すいB-APRC の

 

2つの立体に分けて体積を求めることもできます。

 

Pic_0048

 

三角すいB-PQRの体積

 

=<PQR>×BQ÷3

 

四角すいB-APRCの体積は、

 

Bから台形APRCに下ろした垂線は、上記と同じ

 

BLとなるので、

 

=(AP+CR)×ST÷2xBL ÷3

 

=(AP+CR)×<PQR>÷3

 

 

 

よって、三角柱ABC-PQRの体積

 

=<PQR>×(AP+BQ+CR)÷3 

 

と求めることもできます。以下同様です。

 

 

 

 

 

 

 

 

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