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2009年6月23日 (火)

切断された三角柱(切断三角柱)の体積の求め方

問題

 三角柱の体積を求める公式は、<底面積×高さの平均

と知られていますが、なぜそのようになるのか、

切断三角柱の体積の求め方を下図を用いて説明しなさい。

 なお、下図の三角柱ABC-DEFを各辺のP,Q,Rを通る平面で

切断したところ、切断面はAD、BE、CFに対して垂直でした。

この場合、底面積=三角形PQRの面積です

Pic_0043_2

--------------------------------------------

解答

 三角柱ABC-DEFを平面PQRで上下に分けて、

三角柱ABC-PQRについて考えてみます。

Bを通り、PQRと平行な面BSTを図のように定めると

Pic_0044_2

三角形PQRの面積=三角形BSTの面積 です。

三角柱ABC-PQRの体積

=三角柱BST-PQRの体積+四角すいB-ATSCの体積

三角形PQRの面積を<PQR>と表すと、

三角柱BST-PQRの体積=<PQR>×BQ

 

四角すいB-ATSCの体積について考えます。

BからSTに垂線BLを下ろすと、その垂線は台形ATSCに

対しても垂直です。(なぜなら面PQRがAP,CRに垂直)

Pic_0045

よって、四角すいB-ATSCの体積

=台形ATSCの面積×BL÷3です。

(四角すいの体積=底面積×高さ÷3 なので)

=(AT+CS)×ST÷2 × BL ÷3 ですが、

これは次のように書き換えられます。

Pic_0046_2

=<PQR>× (AT+CS)÷3

よって、三角柱BST-PQRの体積=<PQR>×BQなので

三角柱ABC-PQRの体積=

Pic_0047_2 

Pic_0045_2

下の部分の三角柱PQR-DEFについても

同様にすると、三角柱の体積=

<PQR>×(DP+EQ+FR)÷3となるので、

三角柱ABC-DEFの体積

=<PQR>×(AP+BQ+CR)÷3

  +<PQR>×(DP+EQ+FR)÷3

=<PQR>×{(AP+DP)+(BQ+EQ)+(CR+FR)}÷3

=<PQR>×(AD+BE+CF)÷3

と表せるので、どのような三角柱においても

三角柱の体積=底面積 × 高さの平均

という式で求められることがわかります。

   

<別解>

三角柱ABC-PQRにおいて、面BPRを通る平面で

三角すいB-PQR と 四角すいB-APRC の

2つの立体に分けて体積を求めることもできます。

Pic_0048

三角すいB-PQRの体積

=<PQR>×BQ÷3

四角すいB-APRCの体積は、

Bから台形APRCに下ろした垂線は、上記と同じ

BLとなるので、

=(AP+CR)×ST÷2xBL ÷3

=(AP+CR)×<PQR>÷3

 

よって、三角柱ABC-PQRの体積

=<PQR>×(AP+BQ+CR)÷3 

と求めることもできます。以下同様です。

    

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