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2009年6月22日 (月)

平面図形の面積 第18問 正方形で正方形を作る (甲陽学院中学 2007年(平成19年度) 受験算数問題)

問題 (甲陽学院中学 2007年 受験算数問題) 難易度★★★★

 下図は、ある長方形を9つの正方形に分けた図です。

正方形Aの一辺が32.4cm、正方形Bの1辺が14.4cmのとき

長方形の面積を求めなさい。

Pic_0031

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解答

 A,B以外の正方形にC~Iとし、それぞれの1辺の長さも

A~Iとします。すなわち、A=32.4cm、B=14.4cmです。

Pic_0032

周りの正方形の配置から、それぞれの長さを表すと、

A=E+H、B=C+D、C=C、D=D、E=E、F=D+G

G=B+D、H=E+F、I=B+C   となります。

C,D,Eを他の長さで表現できないので、それぞれを

C,D,Eを使って表しなおすと次のようになります。

A=E+H=E+E+F=2E+D+G=2E+D+B+D

 =2E+2D+C+D=C+3D+2E

B=C+D

F=D+G=D+B+D=2D+C+D=C+3D

G=B+D=C+D+D=C+2D

H=E+F=E+C+3D=C+3D+E

I=B+C=C+D+C=2C+D

Pic_0033

次に、上の赤線の部分に注目すると、

C+E=D+F となっていることがわかります。

F=C+3Dですから、

C+E=D+C+3D=C+4D ということです。

これは、E=4D ということを示しています。

すると、A=C+3D+2E=C+11D=32.4

B=C+D=14.4

H=C+3D+E=C+7D

となり、すべての正方形の1辺をCとDで表現できました。

C+11D=32.4

C+D=14.4

ですので、10D=18cm となりますので、D=1.8cmです。

C=14.4-1.8=12.6cm と求まりますから、

すべての正方形の1辺がわかることになります。

この長方形のたて=A+H、よこ=A+B+C です。

たて=32.4+C+7D=32.4+12.6+1.8×7=57.6cm

よこ=32.4+14.4+C=32.4+14.4+12.6=59,4cm

 

よって、この長方形の面積=57.6×59.4=3421.44c㎡ 

となります。 

   

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