平面図形の面積 第１２問 （豊島岡女子学園中学 2009年（平成21年度） 算数受験問題）

問題　（豊島岡女子学園中学　2009年　算数受験問題）　

　　　　  難易度★★★

　下図は、１２ｃｍの直線ＡＢを直径とした半円と、

ＡＢを斜辺とした直角二等辺三角形を描いたものです。

半円の円周上の真ん中の点をＣ、ＡＥの真ん中の点をＤ、

直角二等辺三角形の頂点をＥとして、ＣＤの直線を

描いたとき、図の黄色い部分の面積を求めなさい。

円周率は３．１４とします。　

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解答

　ＣからＡＢに垂線を引いて、ＡＢとの交点をＯとすると

Ｃは円周を２等分する点なので、ＡＯ＝ＯＢとなり、

ＯはＡＢの真ん中の点ということになります。

さらに、ＣＯを伸ばすと、三角形ＡＢＥが二等辺三角形

なので、ＣＯはＥと交わります。

　さて、ＣＤとＡＢの交点をＰとすると、

黄色い部分の面積を求めるには、扇形ＯＡＣから

三角形ＯＰＣを除けば求められますね。

三角形ＯＰＣの面積を求めるには、ＰＯを求めなければなりません。

三角形ＯＰＣと相似な三角形と作るために、ＤからＯＥに垂線を

おろしましょう。

交点をＱとすると、三角形ＣＰＯと三角形ＣＤＱは相似です。

ＤＱを求めればＯＰが求められそうですね。

ＤＱを求めましょう。三角形ＤＱＥと三角形ＡＯＥは相似です。

ＤがＡＥの真ん中なので、相似比は１：２ということがわかります。

ＡＯ＝１２÷２＝６ｃｍなので、　ＤＱ＝６÷２＝３ｃｍですね。

次に三角形ＣＰＯと三角形ＣＤＱの相似比を求めましょう。

ＣＯは半円の半径なので６ｃｍです。ＯＱ＝ＯＥ－ＱＥです。

三角形ＤＱＥと三角形ＡＯＥと三角形ＡＢＥは、すべて相似で

直角二等辺三角形ということに気づきましょう。すると、

ＤＱ＝ＱＥ＝３ｃｍ、ＯＥ＝ＯＡ＝６ｃｍです。

なので、ＯＱ＝６－３＝３ｃｍとなります。

よって、三角形ＣＰＱと三角形ＣＤＱの相似比は、

６：６＋３＝６：９＝２：３です。

よって、ＰＯ＝２ｃｍということがわかります。

あとは計算するだけですね。

求める部分の面積は、

６×６×３．１４×９０/３６０－２×６÷２

＝２８．２６ｰ６＝２２．２６ｃ㎡　となります。　

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