立体図形の切り口 第１問 （開成中学 算数受験問題 2004年）

問題　（開成中学　算数受験問題　2004年）　難易度★★★★

　正四角すいＡ－ＢＣＤＥがあり、１辺の長さは全て８ｃｍです。

ＡＤ上にＡＰ＝２ｃｍ、ＢＣ上にＢＱ＝４ｃｍ、ＢＥ上にＢＲ＝４ｃｍ

となるように、点Ｐ，Ｑ，Ｒを取って、正四角すいＡ－ＢＣＤＥを

点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面で切断したときにできる立体を、図の

矢印の方向から見たときの切断面を図に書き込みなさい。

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　解答

面ＰＱＲとＡＣ，ＡＥの交点がどこにあるのかがポイントになります。

底面の正方形の対角線ＢＤとＣＥの交点を点Ｆ、ＰからＢＤに垂直に

線を引いたときの交点を点Ｇ、ＱＲとＢＤの交点を点Ｈとします。

　Ｈの位置は三角形ＢＱＲと三角形ＢＣＥが相似で、

下図のように、相似比が１：２であるので、

Ｈは、ＢＨ＝ＨＦとなるＢＦを２等分する位置です。

三角形ＡＢＤは下図のようになります。

図のように、ＡＦとＰＨの交点を点Ｉとします。

求めたいのはＡＩの長さ、もしくはＩＦの長さです。

三角形ＩＨＦと三角形ＰＨＧは相似ですので、ＩＦの長さを

求めるのに、ＰＧの長さを用いればよいでしょう。

　ここで、三角形ＰＧＤと三角形ＡＦＤも相似で、

相似比は３：４ですね。なので、ＦＧ：ＧＤ＝１：３になります。

ＢＦ＝ＦＤなので、ＢＨ：ＨＦ：ＦＧ：ＧＤ＝２：２：１：３です。

ＨＧ：ＧＤ＝３：３＝１：１なので、ＨＧ＝ＧＤです。

ＰＧは共通で、角ＰＧＤ＝角ＰＧＢ＝９０度ですので、

三角形ＰＧＤと三角形ＰＧＨは合同とわかります。

三角形ＩＨＦ：三角形ＰＨＧ＝２：３で、

三角形ＰＨＧ：三角形ＡＤＦ＝３：４なので、

三角形ＩＨＦ：三角形ＡＤＦ＝１：２ということになります。

よって、ＩはＡＨを２等分する点ということになります。

すなわち、面ＰＱＲが辺ＡＣ，ＡＥと交わる点は、それぞれの

真ん中の点で、そこからＲ，Ｑを結べばよいということです。

図に切断面を表すと、下図のようになります。

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