平面図形の面積 第１６問 面積比 （聖光学院中学 算数受験問題 改題）

問題　（聖光学院中学　算数受験問題　改題）　難易度　★★★

　三角形ABCがあって、BC＝１８cm、AＣ＝１５cmです。

角Aを二等分した線の延長と、BCの交点をD、Dから

ABと平行に線を引いて、ACと交わる点をE、

Eから、ADに垂直に線を引き、ADとの交点をF、ABとの

交点をG,BCの延長との交点をH とすると、下図のように

なり、Ｅ Ｄ ＝５ｃｍ となりました。

このとき、三角形CDEと三角形BGHの面積の比を

最も簡単な整数比で表しなさい。

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解答

　ABとEDは平行なので、角BADと角ADEは等しい。

すると、三角形AGF、AEF、DEFは合同であることがわかります。

ED＝５ｃｍなので、ED＝AE＝AG＝５ｃｍになります。

AC＝１５ｃｍなので、CE＝１０ｃｍ　です。

ABとEDが平行なので、三角形ABCと三角形CDEは相似で、

相似比はAC：CE＝１５：１０＝３：２　とわかります。

ED＝５ｃｍなので、AB＝５÷２×３＝７．５ｃｍ　となります。

AG＝５ｃｍなので、GB＝７．５－５＝２．５ｃｍです。

また、ABとEDが平行なことから、三角形BGHと三角形DEHも

相似で、その相似比はBG：ED＝２．５：５＝１：２ですので、

HB＝BD、HG＝GEということがわかります。

三角形BGHの面積を①とすると、HB＝BDなので、

三角形BDGの面積も①です。

GH＝GEなので、三角形GDHの面積＝三角形DEG＝②、

三角形AGFと三角形AEFが合同で、GF＝FEなので、

三角形GFEの面積＝三角形DEF＝①となります。

さらに三角形DEFと三角形AEFも合同なので、三角形AEFの面積も

①となります。すると、三角形ADEの面積は②で、AE：EC＝１：２

なので、三角形CDEの面積は④に相当します。

よって、三角形CDEの面積：三角形BGHの面積＝４：１となります。

　BD＝BH＝１８÷３＝６ｃｍ、CD＝１８-６＝１２ｃｍなので

HD＝CDなので、三角形DEHの面積＝三角形CDE＝④

と求めてもよいでしょう。

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