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2009年6月22日 (月)

平面図形の面積 第17問 (麻布中学 2006年(平成18年度) 算数入試問題)

問題 (麻布中学 2006年 算数入試問題) 難易度★★★★

 下の図1は、同じ大きさの正五角形を5つ、直線上に

頂点が重なるように、ずらしながら描いたものです。 

図1の黄色い部分の面積は、同じ大きさの正五角形(図2)の

①、②それぞれ何個ずつの合計の面積になるか、答えなさい。

Pic_0025_2

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解答

 図1の黄色い部分の面積は、正五角形3個分となるので

     (平面図形の面積 東海中学(2004年) 参照

Photo

正五角形の面積を①、②の面積で表すことを考えます。

下図のように、正五角形の面積は、

①×5+②×5+小さい正五角形の面積となります。

      Pic_0027

 小さい正五角形の面積を求めましょう。

平面図形の角度 浦和明の星女子中学(2007年) 

でも解いたように、

Pic_0026

正五角形の各頂点を結ぶ直線を引くと、各頂点は36°で

三等分されます。上図で、内側の小さい正五角形を含む

三角形ACSと三角形ABCは合同で、その面積は等しくなります。

 よって、小さい正五角形の面積

=三角形ACS-(三角形APT+三角形QRC)

=三角形ABC-②×2=(①×2+②)-②×2

=①×2-② となります。

 ですから、正五角形の面積=①×5+②×5+①×2-②

                 =①×7+②×4

 よって、求める黄色い部分の面積=①×21+②×12

となります。

 

<別解>

正五角形の面積を求めなくても、三角形ACS=三角形ABC

とわかれば、下図のように正五角形の面積を表せます。

     Pic_0028

正五角形の面積=(①×2+②)×3+①+②

          =①×7+②×4 

と求められます。以下同様となります。

  

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