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2009年6月16日 (火)

連続した数の掛け算 第3問 (駒場東邦中学 2007年、甲陽学院中学 2008年 類題、南山中学 2009年 算数受験問題 改題)

問題 (駒場東邦中学 2007年、甲陽学院中学 2008年 類題

     南山中学 2009年 改題)

     難易度★★★★★

 

 1から2010までの整数をすべて掛け合わせると、

 1の位から0はいくつ続けて並ぶか答えなさい。 

---------------------------------------------------

解答 

 ゼロの出てくる回数→10が何回掛けられているか調べる。

(例:10が2回かけられれば100・・・0は2個)

 

1から2010まで掛けた数は、10が何回掛けられているか?

→10の倍数は2010までに何個あるか?→ 201個

→ しかし、201は答ではありません。

 

1×2×3×4×5=120→10の倍数になります。これは

10=2×5 で成り立つからです。 ですから、この問題は、

1から2010まで掛けたとき、2×5は何個できるか

を考えればよいのです。

 

1から2010までに、2の倍数は1005個、5の倍数は402個。

ありますから、2×5 は402個できあがりますね。

よって、10は402回、掛けられる、ということになりますので、

1から2010まで掛けると、

1の位から0は402個続くことになります。

 

 

と、ここで終わらせたら、不正解です。

なぜなら5の倍数402個を使っても、まだ【5】が残っているのです。

というのも、5,10,15,20,25、30・・・、気づきましたか?

「25」という数です。25=5×5です。5を2個持っているのです。

25の倍数は、2010までの整数の中に、

2010÷25=80あまり10 なので、80個あります。

これを402に加えなければいけません。

 

あれ、でも待ってください。5×5があるということは、

5×5×5=125 これの倍数も 2010÷125=16あまり10

なので、16個あります。

さらに5×5×5×5=625 

この倍数が2010÷625=3あまり・・・なので3個あります。

5×5×5×5×5=3125ですが、2010までには登場しません。

  

ですから、402+80+16+3=501個 ゼロが続く。

これが正しい解答です。  

 

 

 【関連問題

連続した数の掛け算 第1問 (東大寺学園中学 2003年)

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