規則性の問題 数の並び 第１問 （開成中学 2007年 受験算数問題）

問題　（開成中学　2007年　受験算数問題）　難易度★★★★

　下図のようなマスに、０から小さいものから順に整数を

時計の針の回転する方向へ渦を巻くように書き込みます。

　このマスの数字を示す場合、ある整数から上下左右へ

何マスと表すことにします。たとえば、０から上へ２マス、

右へ２マスのところに「１２」がある、というようにします。

（１）「０」から下へ８マス進み、右へ８マス進んだところにある

数を答えなさい。

（２）「０」から上へ８マス進み、左へ８マス進んだところにある

数を答えなさい。　

（３）「５５５」から上下左右、それぞれ１マス進んだところに

ある数をすべて答えなさい。

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解答

　（１）０から下へ８マス、右へ８マスの数を求めましょう。

カドの数字を、すでに出ているもので見てみましょう。

４，１６、・・ですね。次のものは、数えると３６です。

どうやら２×２、４×４、６×６、だな、と想像できますね。

本当にそうなるのか検証してみましょう。

１６について考えます。

１６の出るまでは、下の図のとおりですね。

図の赤い部分と「０」の部分、合計４箇所に、

９，１０，１１，１２を移動させます。すると、

合計４ｘ４＝１６個の数字になります。

よって、右下の数字は偶数ｘ偶数です。

他の数字についても同様の作業をして確認してみてください。

１６については、「０」から下へ２個、右へ２個。合計４マス、

移動してます。

すると問題の「０」から下へ８個、右へ８個、合計１６マス

移動したところの数字は・・・１６×１６＝２５６

と求められます。

（２）

この数の並びの規則性を見つけましょう。

０を１周目とすると、

１～８が２周目、９～？が３周目となります。

１周目・・・１個

２周目・・・３×３＝９個

３周目・・・５×５＝２５個　　　のようになります。

時計周りに数が並んでいくことと、「０」が最初にあるので

各周の最初の数は、その直前の周の数を掛け合わせたもの

となります。２周目の最初は１×１＝１、３周目の最初は３×３＝９、

４周目の最初は５×５＝２５、・・・です。

「０」から上へ８マス、左へ８マスは、９周目の左上のカドです。

ここは、１０周目の最初の数から１引いた数字になりますね。

１０周目の最初の数は１９×１９＝３６１なので、

求める数は３６１－１＝３６０です。

（３）まず、「５５５」がどこにあるのか調べましょう。

２１×２１＝４４１

２２×２２＝４８４

２３×２３＝５２９

２４×２４＝５７６

２５×２５＝６２５

２６×２６＝６７６

なので、「５５５」は２３×２３と２４×２４の間にあることがわかります。

１辺が２５×２５になるのは１３周目です。

上の図の？に入る数は、５２９＋２３＝５５２です。

よって、「５５５」の位置は下図のようになります。

マスの右上のカドの数について、求める式を考えましょう。

左上のカドは「１辺の数×１辺の数」でした。

右上のカドの数字を書き出すと、２，１２，３０・・・です。

その規則は・・・「１辺の数×１辺の数＋１辺の数」と

表すことができますね。

ですので、上図の？には、２５×２５＋２５、２１×２１+２１

の、６５０、４６２が入ります。

よって、「５５５」の上下左右の数は、

４６４、５５４，５５６，６５４　の４つになります。

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