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2009年6月25日 (木)

規則性の問題 数の並び 第1問 (開成中学 2007年 受験算数問題)

問題 (開成中学 2007年 受験算数問題) 難易度★★★★

 下図のようなマスに、0から小さいものから順に整数を

時計の針の回転する方向へ渦を巻くように書き込みます。

 このマスの数字を示す場合、ある整数から上下左右へ

何マスと表すことにします。たとえば、0から上へ2マス、

右へ2マスのところに「12」がある、というようにします。

Pic_0049

(1)「0」から下へ8マス進み、右へ8マス進んだところにある

数を答えなさい。

(2)「0」から上へ8マス進み、左へ8マス進んだところにある

数を答えなさい。 

(3)「555」から上下左右、それぞれ1マス進んだところに

ある数をすべて答えなさい。

--------------------------------------------------

解答

 (1)0から下へ8マス、右へ8マスの数を求めましょう。

カドの数字を、すでに出ているもので見てみましょう。

4,16、・・ですね。次のものは、数えると36です。

どうやら2×2、4×4、6×6、だな、と想像できますね。

本当にそうなるのか検証してみましょう。

16について考えます。

16の出るまでは、下の図のとおりですね。

Pic_0053

図の赤い部分と「0」の部分、合計4箇所に、

9,10,11,12を移動させます。すると、

合計4x4=16個の数字になります。

よって、右下の数字は偶数x偶数です。

他の数字についても同様の作業をして確認してみてください。

16については、「0」から下へ2個、右へ2個。合計4マス、

移動してます。

すると問題の「0」から下へ8個、右へ8個、合計16マス

移動したところの数字は・・・16×16=256

と求められます。

  

(2)

この数の並びの規則性を見つけましょう。

0を1周目とすると、

1~8が2周目、9~?が3周目となります。

1周目・・・1個

2周目・・・3×3=9個

3周目・・・5×5=25個   のようになります。

Pic_0050

Pic_0052

時計周りに数が並んでいくことと、「0」が最初にあるので

各周の最初の数は、その直前の周の数を掛け合わせたもの

となります。2周目の最初は1×1=1、3周目の最初は3×3=9、

4周目の最初は5×5=25、・・・です。

Pic_0051_2

「0」から上へ8マス、左へ8マスは、9周目の左上のカドです。

ここは、10周目の最初の数から1引いた数字になりますね。

10周目の最初の数は19×19=361なので、

求める数は361-1=360です。

   

(3)まず、「555」がどこにあるのか調べましょう。

21×21=441

22×22=484

23×23=529

24×24=576

25×25=625

26×26=676

なので、「555」は23×23と24×24の間にあることがわかります。

1辺が25×25になるのは13周目です。

Pic_0054

上の図の?に入る数は、529+23=552です。

よって、「555」の位置は下図のようになります。

Pic_0055

マスの右上のカドの数について、求める式を考えましょう。

左上のカドは「1辺の数×1辺の数」でした。

右上のカドの数字を書き出すと、2,12,30・・・です。

その規則は・・・「1辺の数×1辺の数+1辺の数」と

表すことができますね。

ですので、上図の?には、25×25+25、21×21+21

の、650、462が入ります。

Pic_0056

よって、「555」の上下左右の数は、

464、554,556,654 の4つになります。

       

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