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2009年6月19日 (金)

積み木の問題 第2問 (桜蔭中学 2004年 受験算数問題)

問題 (桜蔭中学 2004年 受験算数問題) 難易度★★★★★

 1辺1cmの立方体を125個積み上げた、1辺5cmの 

大きな立方体があり、この立方体の表面に色をつけました。

       Pic_0019

ここから、色の付いていない立方体と、1面にしか色の

付いていない立方体をすべて取り除きました。

 

(1)残った立体をA,B,Cの頂点を通る平面で切断したとき、

切断された2つの部分の体積比を求めなさい。

 

(2)取り除いた小さい立方体を、再び積み上げて、

できるだけ大きい立方体を作り、色の付いた立方体の

色の付いた面が表面に来るようにしました。

このとき、できた立方体の色のついた部分と、

色のついていない部分の比を求めなさい。

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解答

(1)125個から成る立方体から、条件の立方体をのぞくと

各面の中央部分3×3個、内部の3×3×3個、

計3×3×6+3×3×3=81個を125個から除くので、

44個の立方体から構成された立体となります(下図)

 Pic_0020

この立体を面ABCで切断すると、下図の灰色の立方体が

合計6個切断されます。

Pic_0021

 この切断される立方体の、隣り合う2つは、2つをちょうど

等分されるので、体積も半分となります。

切断面より上の部分(図の手前部分)の立体は、

小立方体が7+(6÷2)=10個分となって、残りの部分は

44-10=34個分です。よって、切断された立体の体積比は

34:10=17:5 となります。

 

(2) 取り除かれた立方体は、色つきが54個、色なしが27個

合計81個でした。

81個の小立方体で作れる、最も大きい立方体は、

1辺4×4×4=64個から成る立方体です。

(5×5×5=125で不可)

Pic_0022  

 この立方体は

 中央の2×2×2

 =8個以外の、

 64-8=56個に

 1面色のついた

 小立方体を使う

 ことが可能です。

 色つきのものは

 54個ですので、

 全て使えます。

 

よって、この立方体で色のついた部分は54個。

すべての面は4×4×6=96個あるので、

色付き部分:色なし部分=54:96-54=54:42=9:7

となります。 

 

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