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2009年6月26日 (金)

立体図形の切り口 第4問 (聖光学院中学 2006年 受験算数問題 改題)

問題 (聖光学院中学 2006年 改題) 難易度★★★★

 1辺6cmの立方体ABCD-EFGHがあり、AL=4cm、CM=3cm、

BN=3cmとなるように、点L,M,N をとり、L、M、Nを通る平面で

立方体を切断しました。このとき次の問いに答えなさい。

 

(1)CGと平面LMNの交点をPとするとき、PGの長さを求めなさい。

(2)平面LMNで切り取られた立体BLN-CMPの体積を求めなさい。

(3)CEと平面LMNの交点をQとするとき、CQ:QEを簡単な整数比で

表しなさい。

Pic_0063

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解答

(1)面ABFEと面CDHGは平行なので、

三角形BLNと三角形CMPは相似です。

BL:BN=CM:CPなので、2:3=3:CP と表すことができ、

CP=4.5cm と求められます。

よって、PG=6-4.5=1.5cm となります。

  

(2)MLとCBの交点をOとすると

Pic_0067_2

三角すいO-BLN:三角すいO-CMPの相似比=2:3   

なので、その体積比=2×2×2:3×3×3=8:27

よって、三角すい台BLN-CMPの体積は

三角すいO-BLNの体積の19/8倍

=2×3÷2×12÷3×19/8=28.5c㎥ となります。

   

(3)平面LMNとACの交点をRとすると、AR:RC=4:3となります。

Pic_0064

平面ACGEを考えると、下図のようにP,Q,Rを

同一平面上に描くことができます。

Pic_0065

QPの延長とEGの延長の交点をSとすると、

CQ:QEを求めるには、CR:ESを求めればよいと

わかります。

Pic_0066

三角形CPRと三角形GSPは相似なので、

③:GS=4.5:1.5 となります。よって、GS=①となります。

EG=AC=⑦なので、ES=⑦+①=⑧ です。

よって、CR:ES=③:⑧ ですから

CQ:QE=3:8 となります。

   

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