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2009年5月21日 (木)

立体の体積比 第2問 (灘中学 算数入試問題 改題)

問題 (灘中学 算数入試問題 改題) 難易度★★★★

 図のような立方体ABCD-EFGHから、

3つの頂点A,C,Fを通る平面と、

3つの頂点B,D,Gを通る平面で、

それぞれB,Cのある側の立体を

切り取ると、1つの立体が残る。

この立体の体積と、元の立方体の体積の

体積比は、何対何か?

三角すいの体積は=底面積x高さ÷3

とする。

Photo

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解答

切り取られる2つの三角すいは、下図のような

点P,Q,Rの面で交わることをイメージする。

三角形ABFと三角形DCGは合同で、

三角形PQRとは相似比2:1で相似である。

Photo_2

立方体ABCD-EFGHの1辺の長さを1とすると

三角すいB-CDGの体積は、

1×1×1/2×1×1/3=1/6

三角すい台PQR-CDGの体積は、

相似比1:2から、

1-(1/2×1/2×1/2)=三角すいの7/8

よって、1/6 × 7/8 =7/48

残っている立体の体積は、

元の立方体から三角すい台を2つ引けばよいので

1×1×1 - 7/48 × 2 =17/24

ゆえに、残った立体と元の立方体の体積比は、

17:24 となる。

 

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