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2009年5月26日 (火)

最大公約数と最小公倍数(すだれ算)

最大公約数

2つ以上の整数に、共通な約数(公約数)のうち

最大のものを最大公約数といいます。

 例 12 と 30 の公約数を求めなさい。

  12の約数・・・,4,,12

  30の約数・・・,5,,10,15

公約数は、共通の約数=1,2,3,6 で、

最大公約数は 6 となります。 

 

最小公倍数

2つ以上の整数の共通な倍数(公倍数)のうち

最小のものを最小公倍数といいます。

 例 12 と 30 の公倍数は、60、120・・・が公倍数。

  その中で最小のもの、60が最小公倍数です。

 

では問題です。

100,120,150の最大公約数と、最小公倍数を求めなさい。

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すだれ算(連除算)

--最大公約数と最小公倍数の簡単な求め方--

 まず、数字を書きます。

     12 30

割り算の要領で、数字を同時に割ります。

この場合、共に偶数なので、まずで割れますね。

    2) 12 30

割り算では、上に線を引いて、その上に答えを

書きますが、すだれ算では、下に線を書きます。

  Photo_2

線の下に、割った答えを書きましょう。

   Photo_3

6と15は、まだ「3」で割れますので、続けて

3で割ってみましょう。すると、こうなります。

   Photo_4

2と5は、もう共に割れる数字はないので、

すだれ算はここで終了です。すだれのように下へ下へ

続くので、すだれ算、と覚えましょう。

 

さて、ここまで行ったことを振り返りましょう。

12と30を、2で割って、さらに3で割ったら、2と5になった。

これは、12と30が、共に

2で割ることができ、割ったものはさらに3でも割れた。

要するに、2×3=6、6で共通して割ることができ、それ以上は

割れない(約数がない)。つまり、6が最大公約数となります。

 

 さて、2と5の意味はなんでしょう?

2×6=12、5×6=30 のように、元の数字に戻りますね。

では、さらに違うもの(12から見たら、5、30から見たら、2)

をかけてみましょう。すると

2×6×5=60、5×6×2=60となり、等しくなります。

つまり、それぞれを最大公約数で割り切ったとき、

自分の数字(12)に、相手の残った数字(5)をかけたものは

等しい。これは最小の公倍数となります。

Photo_5

今回は2,3と小さい数字で割りましたが、いきなり6で割れる

ことに気づくこともあると思います。そのときは

Photo_6

とやってしまってかまいません。

 

さて、例では2つの数について考えましたが、

数字が100、120、150の場合どうでしょう

実はこうなります。

Photo_7

10が最大公約数になりますが、それ以降5,2,3と

こまごまと割っていますね。3つすべてに共通している

わけではなく、2つに共通するもので割っています。

これは最小公倍数を求める際に用いる手法です。

3つ全部に共通していなくても、2つに共通していれば

割る!これがポイントです。

最小公倍数は、10×5×2×3×1×2×1=600 です。

600より小さい公倍数は確認できないはずです。

複数の数の公倍数を求めるときは、

割れるところまで割りましょう。

 

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