立体の体積比 第１問 （開成中学）

問題　（開成中学　算数受験問題）　難易度★★★★

　下の図１のような、底面の円の半径が１５ｃｍの円錐を、上から

１２ｃｍの位置で底面と平行な面で切って、小さい円すいと、

円すい台に切り離したところ、小さい円すいの底面の円の半径は

５ｃｍとなりました。このとき、次の問題に答えなさい。　　

　　　

（１）円すい台の体積は、小さい円すいの何倍になりますか？

（２）小さい円すいに水を満たし、円すい台に１９杯注いだとき

　　 円すい台に満たされた水の高さは何ｃｍになりますか？

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解答

（１）小さい円すいと元の円すいの相似比が １ ： ３ なので、

　　　 小さい円すいの体積　：　元の円すいの体積

　＝　１×１×１　：　３×３×３ 　＝　１　：　２７

となります。

　相似比 と 体積比 の関係については　→　こちら　を参照

円すい台の体積は、元の円すいから小さい円すいの体積を

引いたものなので、

小さい円すいの体積 ： 円すい台の体積 ＝ １ ： ２７-１ ＝ １ ： ２６

とわかります。

よって、円すい台の体積は、小さい円すいの２６倍です。

　（２）元の円すいの体積は、小さい円すいの体積の２７倍なので、

元の円すいには、小さい円すいで２７杯の水が入ることになります。

１９杯を満たしたとき、下の図２のようになります。

　　　　　　

上の「８杯」の部分は、８＝２×２×２

元の円すい「２７杯」は、２７＝３×３×３ で、

体積比 が ２×２×２　：　３×３×３ なので、

「８杯」の部分と元の円すいは、下の図３のように、

　　　　　　

相似比　２　：　３　であることがわかります。

小さい円すいと元の円すいの相似比が １ ： ３ で、小さい円すい

の高さが１２ｃｍなので、元の円すいの高さは、

　　　　１２×３＝３６ｃｍ ・・・ 図３の③ とわかり、

求める水が満たされた部分の高さは、図３の① の高さで、

　　　　３６÷３＝１２ｃｍ

と求められます。

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